Номер 596, страница 231 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 2. Комплексно сопряжённые числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и выделения - номер 596, страница 231.

Условие.

596. Найти модуль комплексного числа:

1) $6 + 8i;$

2) $8 - 6i;$

3) $-\sqrt{3} + i;$

4) $\sqrt{2} - \sqrt{3}i;$

5) $5i;$

6) $-2i;$

7) $\frac{1}{4} - \frac{3}{4}i;$

8) $-\frac{4}{7} - \frac{3}{7}i.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Модуль комплексного числа $z = a + bi$, где $a$ – действительная часть, а $b$ – мнимая часть, находится по формуле: $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

1)

Для комплексного числа $z = 6 + 8i$ действительная часть $a = 6$, мнимая часть $b = 8$.

Вычисляем модуль: $|z| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10.

2)

Для комплексного числа $z = 8 - 6i$ действительная часть $a = 8$, мнимая часть $b = -6$.

Вычисляем модуль: $|z| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10.

3)

Для комплексного числа $z = -\sqrt{3} + i$ действительная часть $a = -\sqrt{3}$, мнимая часть $b = 1$.

Вычисляем модуль: $|z| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2.

4)

Для комплексного числа $z = \sqrt{2} - \sqrt{3}i$ действительная часть $a = \sqrt{2}$, мнимая часть $b = -\sqrt{3}$.

Вычисляем модуль: $|z| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{2 + 3} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.

5)

Для комплексного числа $z = 5i$, которое можно записать как $z = 0 + 5i$, действительная часть $a = 0$, мнимая часть $b = 5$.

Вычисляем модуль: $|z| = \sqrt{0^2 + 5^2} = \sqrt{0 + 25} = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: 5.

6)

Для комплексного числа $z = -2i$, которое можно записать как $z = 0 - 2i$, действительная часть $a = 0$, мнимая часть $b = -2$.

Вычисляем модуль: $|z| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 4} = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: 2.

7)

Для комплексного числа $z = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}i$ действительная часть $a = \frac{1}{4}$, мнимая часть $b = -\frac{3}{4}$.

Вычисляем модуль: $|z| = \sqrt{(\frac{1}{4})^2 + (-\frac{3}{4})^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{1+9}{16}} = \sqrt{\frac{10}{16}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{4}$.

8)

Для комплексного числа $z = -\frac{4}{7} - \frac{3}{7}i$ действительная часть $a = -\frac{4}{7}$, мнимая часть $b = -\frac{3}{7}$.

Вычисляем модуль: $|z| = \sqrt{(-\frac{4}{7})^2 + (-\frac{3}{7})^2} = \sqrt{\frac{16}{49} + \frac{9}{49}} = \sqrt{\frac{16+9}{49}} = \sqrt{\frac{25}{49}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{49}} = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7}$.