Номер 603, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 2. Комплексно сопряжённые числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и выделения - номер 603, страница 232.

Условие.

603. При каких действительных значениях x и y комплексные числа $z_1=9y^2-4-10xi$ и $z_2=8y^2+20i^7$ являются сопряжёнными?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Два комплексных числа $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$ являются комплексно-сопряженными, если их действительные части равны ($a=c$), а мнимые части противоположны по знаку ($b = -d$).

Сначала приведем данные комплексные числа к стандартному алгебраическому виду $a+bi$.

Первое число: $z_1 = 9y^2 - 4 - 10xi$. Его действительная часть $\text{Re}(z_1) = 9y^2 - 4$, а мнимая часть $\text{Im}(z_1) = -10x$.

Второе число: $z_2 = 8y^2 + 20i^7$. Необходимо упростить степень мнимой единицы $i$. Степени $i$ повторяются с периодом 4: $i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1$. Поэтому $i^7 = i^{4+3} = i^4 \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i$.

Подставив это значение, получим: $z_2 = 8y^2 + 20(-i) = 8y^2 - 20i$. Его действительная часть $\text{Re}(z_2) = 8y^2$, а мнимая часть $\text{Im}(z_2) = -20$.

Согласно условию сопряженности, действительные части чисел должны быть равны, а мнимые — противоположны. Это дает нам систему из двух уравнений:

1. $\text{Re}(z_1) = \text{Re}(z_2) \implies 9y^2 - 4 = 8y^2$

2. $\text{Im}(z_1) = -\text{Im}(z_2) \implies -10x = -(-20)$

Решим полученную систему уравнений. Из первого уравнения найдем $y$:

$9y^2 - 8y^2 = 4$

$y^2 = 4$

$y = \pm \sqrt{4}$, что дает два значения: $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Из второго уравнения найдем $x$:

$-10x = 20$

$x = \frac{20}{-10}$

$x = -2$

Таким образом, условие выполняется при $x = -2$ и $y = \pm 2$.

Ответ: $x = -2$, $y = 2$ или $y = -2$.