Номер 600, страница 232 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 2. Комплексно сопряжённые числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и выделения - номер 600, страница 232.

Условие.

600. Найти частное комплексных чисел:

1) $\frac{1-i}{1+i}$;

2) $\frac{3+3i}{1-3i}$;

3) $\frac{2i}{1-i}$;

4) $\frac{1-i}{2i}$;

5) $\frac{2+5i}{-1+6i}$;

6) $\frac{5}{-1-2i}$;

7) $\frac{-3+2i}{1-4i}$;

8) $\frac{-4-3i}{-2-5i}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы найти частное двух комплексных чисел, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на число, комплексно сопряженное знаменателю. Комплексно сопряженным к числу $z = a + bi$ является число $\overline{z} = a - bi$. При умножении числа на его сопряженное используется формула $(a+bi)(a-bi) = a^2+b^2$. Также используется основное свойство мнимой единицы: $i^2 = -1$.

1) Чтобы найти частное $\frac{1-i}{1+i}$, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю. Сопряженное к $1+i$ это $1-i$.

$\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2}{1^2 + 1^2} = \frac{1 - 2i - 1}{2} = \frac{-2i}{2} = -i$.

Ответ: $-i$.

2) Выполним деление $\frac{3+3i}{1-3i}$. Для этого умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $1+3i$.

$\frac{3+3i}{1-3i} = \frac{(3+3i)(1+3i)}{(1-3i)(1+3i)} = \frac{3 \cdot 1 + 3 \cdot 3i + 3i \cdot 1 + 3i \cdot 3i}{1^2 + 3^2} = \frac{3 + 9i + 3i + 9i^2}{1 + 9} = \frac{3 + 12i - 9}{10} = \frac{-6 + 12i}{10} = -\frac{6}{10} + \frac{12}{10}i = -\frac{3}{5} + \frac{6}{5}i$.

Ответ: $-\frac{3}{5} + \frac{6}{5}i$.

3) Чтобы найти частное $\frac{2i}{1-i}$, умножим дробь на сопряженное к знаменателю число $1+i$ в числителе и знаменателе.

$\frac{2i}{1-i} = \frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2i + 2i^2}{1^2 + 1^2} = \frac{2i - 2}{2} = \frac{-2 + 2i}{2} = -1 + i$.

Ответ: $-1 + i$.

4) Для нахождения частного $\frac{1-i}{2i}$, знаменатель которого является чисто мнимым числом, достаточно умножить числитель и знаменатель на $i$, чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе.

$\frac{1-i}{2i} = \frac{(1-i) \cdot i}{2i \cdot i} = \frac{i - i^2}{2i^2} = \frac{i - (-1)}{2(-1)} = \frac{1+i}{-2} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.

Ответ: $-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i$.

5) Найдем частное $\frac{2+5i}{-1+6i}$. Комплексно сопряженное к знаменателю $-1+6i$ есть $-1-6i$. Умножим на него числитель и знаменатель.

$\frac{2+5i}{-1+6i} = \frac{(2+5i)(-1-6i)}{(-1+6i)(-1-6i)} = \frac{-2 - 12i - 5i - 30i^2}{(-1)^2 + 6^2} = \frac{-2 - 17i + 30}{1 + 36} = \frac{28 - 17i}{37} = \frac{28}{37} - \frac{17}{37}i$.

Ответ: $\frac{28}{37} - \frac{17}{37}i$.

6) Чтобы найти частное $\frac{5}{-1-2i}$, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $-1+2i$.

$\frac{5}{-1-2i} = \frac{5(-1+2i)}{(-1-2i)(-1+2i)} = \frac{-5 + 10i}{(-1)^2 + (-2)^2} = \frac{-5 + 10i}{1 + 4} = \frac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i$.

Ответ: $-1 + 2i$.

7) Выполним деление $\frac{-3+2i}{1-4i}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число $1+4i$.

$\frac{-3+2i}{1-4i} = \frac{(-3+2i)(1+4i)}{(1-4i)(1+4i)} = \frac{-3 - 12i + 2i + 8i^2}{1^2 + (-4)^2} = \frac{-3 - 10i - 8}{1 + 16} = \frac{-11 - 10i}{17} = -\frac{11}{17} - \frac{10}{17}i$.

Ответ: $-\frac{11}{17} - \frac{10}{17}i$.

8) Найдем частное $\frac{-4-3i}{-2-5i}$. Комплексно сопряженное к знаменателю $-2-5i$ есть $-2+5i$. Умножим на него числитель и знаменатель.

$\frac{-4-3i}{-2-5i} = \frac{(-4-3i)(-2+5i)}{(-2-5i)(-2+5i)} = \frac{8 - 20i + 6i - 15i^2}{(-2)^2 + (-5)^2} = \frac{8 - 14i + 15}{4 + 25} = \frac{23 - 14i}{29} = \frac{23}{29} - \frac{14}{29}i$.

Ответ: $\frac{23}{29} - \frac{14}{29}i$.