Страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

609. Решить уравнение:

1) $|z| - iz = 1 - 2i;

2) $z^2 + 3|z| = 0.$

1) $|z| - iz = 1 - 2i$

Пусть комплексное число $z$ представлено в алгебраической форме $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$.

Тогда модуль числа $z$ равен $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$\sqrt{x^2 + y^2} - i(x + iy) = 1 - 2i$

Раскроем скобки:

$\sqrt{x^2 + y^2} - ix - i^2y = 1 - 2i$

Поскольку $i^2 = -1$, получаем:

$\sqrt{x^2 + y^2} - ix + y = 1 - 2i$

Сгруппируем действительную и мнимую части в левой части уравнения:

$(\sqrt{x^2 + y^2} + y) - ix = 1 - 2i$

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части. Приравняем их:

Действительная часть: $\sqrt{x^2 + y^2} + y = 1$

Мнимая часть: $-x = -2 \implies x = 2$

Подставим значение $x=2$ в уравнение для действительной части:

$\sqrt{2^2 + y^2} + y = 1$

$\sqrt{4 + y^2} = 1 - y$

Левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной: $1 - y \ge 0$, что означает $y \le 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{4 + y^2})^2 = (1 - y)^2$

$4 + y^2 = 1 - 2y + y^2$

Вычтем $y^2$ из обеих частей:

$4 = 1 - 2y$

$2y = 1 - 4$

$2y = -3$

$y = -\frac{3}{2}$

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $y$ условию $y \le 1$.

$-\frac{3}{2} = -1.5$, и $-1.5 \le 1$. Условие выполняется.

Таким образом, мы нашли $x=2$ и $y = -3/2$. Искомое комплексное число:

$z = x + iy = 2 - \frac{3}{2}i$

Ответ: $z = 2 - \frac{3}{2}i$.

2) $z^2 + 3|z| = 0$

Перепишем уравнение в виде $z^2 = -3|z|$.

Поскольку $|z|$ является действительным и неотрицательным числом ($|z| \ge 0$), правая часть уравнения $-3|z|$ является действительным и неположительным числом ($-3|z| \le 0$).

Следовательно, $z^2$ также должно быть действительным и неположительным числом.

Пусть $z = x + iy$. Тогда $z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$.

Так как $z^2$ — действительное число, его мнимая часть должна быть равна нулю:

$2xy = 0$

Это равенство выполняется в двух случаях: либо $x=0$, либо $y=0$.

Случай 1: $x = 0$

В этом случае $z = iy$. Подставим это в исходное уравнение:

$(iy)^2 + 3|iy| = 0$

$i^2y^2 + 3\sqrt{0^2 + y^2} = 0$

$-y^2 + 3|y| = 0$

Рассмотрим два подслучая:

а) Если $y \ge 0$, то $|y|=y$. Уравнение принимает вид:

$-y^2 + 3y = 0 \implies y(-y + 3) = 0$

Отсюда $y=0$ или $y=3$. Оба значения удовлетворяют условию $y \ge 0$.

При $y=0$, получаем $z = i \cdot 0 = 0$.

При $y=3$, получаем $z = i \cdot 3 = 3i$.

б) Если $y < 0$, то $|y|=-y$. Уравнение принимает вид:

$-y^2 + 3(-y) = 0 \implies -y^2 - 3y = 0 \implies -y(y + 3) = 0$

Отсюда $y=0$ или $y=-3$. Условию $y < 0$ удовлетворяет только $y=-3$.

При $y=-3$, получаем $z = i \cdot (-3) = -3i$.

Случай 2: $y = 0$

В этом случае $z=x$. Уравнение принимает вид:

$x^2 + 3|x| = 0$

Поскольку $x^2 \ge 0$ и $|x| \ge 0$, их сумма $x^2 + 3|x|$ равна нулю только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:

$x^2 = 0 \implies x = 0$

$|x| = 0 \implies x = 0$

Это дает нам решение $z = 0$, которое уже было найдено в первом случае.

Объединяя все найденные решения, получаем три корня уравнения.

Ответ: $z_1 = 0$, $z_2 = 3i$, $z_3 = -3i$.

610. Вычислить:

1) $i^6 + i^{20} + i^{30} + i^{36} + i^{54}$

2) $\frac{1}{i^{13}} + \frac{1}{i^{23}} + \frac{1}{i^{33}}$

1) Для вычисления данного выражения необходимо найти значения степеней мнимой единицы $i$.

Степени мнимой единицы $i$ цикличны с периодом 4:
$i^1 = i$
$i^2 = -1$
$i^3 = -i$
$i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$
Для нахождения $i^n$ достаточно найти остаток от деления показателя степени $n$ на 4. Если $n = 4k + r$, где $r$ — остаток, то $i^n = i^{4k+r} = (i^4)^k \cdot i^r = 1^k \cdot i^r = i^r$. Если остаток от деления равен 0, это эквивалентно остатку 4, и $i^n = i^4 = 1$.

Вычислим каждое слагаемое:

• $i^6$: остаток от деления 6 на 4 равен 2, поэтому $i^6 = i^2 = -1$.
• $i^{20}$: 20 делится на 4 без остатка (остаток 0), поэтому $i^{20} = i^4 = 1$.
• $i^{30}$: остаток от деления 30 на 4 равен 2, поэтому $i^{30} = i^2 = -1$.
• $i^{36}$: 36 делится на 4 без остатка (остаток 0), поэтому $i^{36} = i^4 = 1$.
• $i^{54}$: остаток от деления 54 на 4 равен 2, поэтому $i^{54} = i^2 = -1$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение и вычислим сумму:

$i^6 + i^{20} + i^{30} + i^{36} + i^{54} = (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) = 0 + 0 - 1 = -1$.

Ответ: -1.

2) Для вычисления данного выражения сначала упростим каждую дробь.

Общий подход заключается в вычислении знаменателя $i^n$, а затем в избавлении от мнимости в знаменателе. Для этого можно использовать свойство $i^{-n} = \frac{1}{i^n}$ или домножить числитель и знаменатель на подходящее выражение. Полезно помнить, что $\frac{1}{i} = -i$.

Вычислим каждое слагаемое по отдельности:

• $\frac{1}{i^{13}}$: Сначала найдем $i^{13}$. Показатель степени $13 = 4 \cdot 3 + 1$. Значит, $i^{13} = i^1 = i$. Тогда дробь равна $\frac{1}{i}$. Чтобы избавиться от $i$ в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $i$: $\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$.
• $\frac{1}{i^{23}}$: Найдем $i^{23}$. Показатель степени $23 = 4 \cdot 5 + 3$. Значит, $i^{23} = i^3 = -i$. Тогда дробь равна $\frac{1}{-i}$. Домножим числитель и знаменатель на $i$: $\frac{1}{-i} = \frac{1 \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{-(-1)} = \frac{i}{1} = i$.
• $\frac{1}{i^{33}}$: Найдем $i^{33}$. Показатель степени $33 = 4 \cdot 8 + 1$. Значит, $i^{33} = i^1 = i$. Тогда дробь равна $\frac{1}{i} = -i$, как мы уже вычислили для первого слагаемого.

Теперь сложим полученные значения:

$\frac{1}{i^{13}} + \frac{1}{i^{23}} + \frac{1}{i^{33}} = (-i) + i + (-i) = 0 - i = -i$.

Ответ: -i.

611. Доказать, что $|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 4c^2$, если $|z_1| = |z_2| = c$.

Для доказательства данного тождества воспользуемся свойством квадрата модуля комплексного числа, которое гласит, что для любого комплексного числа $z$ выполняется равенство $|z|^2 = z \cdot \bar{z}$, где $\bar{z}$ — комплексно-сопряжённое число к $z$.

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства: $|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2$.

Применим указанное свойство к каждому слагаемому в выражении:

$|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2) \cdot \overline{(z_1 + z_2)}$

$|z_1 - z_2|^2 = (z_1 - z_2) \cdot \overline{(z_1 - z_2)}$

Далее, используем свойство сопряжения суммы и разности комплексных чисел: $\overline{a \pm b} = \bar{a} \pm \bar{b}$.

$|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)(\bar{z_1} + \bar{z_2})$

$|z_1 - z_2|^2 = (z_1 - z_2)(\bar{z_1} - \bar{z_2})$

Теперь раскроем скобки в каждом из полученных выражений:

$(z_1 + z_2)(\bar{z_1} + \bar{z_2}) = z_1\bar{z_1} + z_1\bar{z_2} + z_2\bar{z_1} + z_2\bar{z_2}$

$(z_1 - z_2)(\bar{z_1} - \bar{z_2}) = z_1\bar{z_1} - z_1\bar{z_2} - z_2\bar{z_1} + z_2\bar{z_2}$

Подставим раскрытые выражения обратно в исходную сумму:

$|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = (z_1\bar{z_1} + z_1\bar{z_2} + z_2\bar{z_1} + z_2\bar{z_2}) + (z_1\bar{z_1} - z_1\bar{z_2} - z_2\bar{z_1} + z_2\bar{z_2})$

Сгруппируем и сократим подобные члены. Члены $z_1\bar{z_2}$ и $-z_1\bar{z_2}$, а также $z_2\bar{z_1}$ и $-z_2\bar{z_1}$ взаимно уничтожаются:

$|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2z_1\bar{z_1} + 2z_2\bar{z_2} = 2(z_1\bar{z_1} + z_2\bar{z_2})$

Теперь вернемся к представлению $z\bar{z} = |z|^2$:

$2(|z_1|^2 + |z_2|^2)$

По условию задачи нам дано, что $|z_1| = |z_2| = c$. Подставим это значение в полученное выражение:

$2(c^2 + c^2) = 2(2c^2) = 4c^2$

Таким образом, мы показали, что левая часть исходного равенства $|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2$ равна $4c^2$, что и требовалось доказать.

Стоит отметить, что это равенство является частным случаем тождества параллелограмма, которое гласит, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон. В данном случае комплексные числа $z_1$ и $z_2$ можно рассматривать как векторы, образующие стороны параллелограмма (в нашем случае — ромба, так как их длины равны $c$), а $z_1+z_2$ и $z_1-z_2$ — как его диагонали.

Ответ: Равенство доказано.

612. Вычислить:

1) $(1 + i)^8$;

2) $(1 - i)^{12}$.

Для вычисления $(1+i)^8$ удобно представить степень 8 как $2 \cdot 4$ и воспользоваться свойством степеней $(a^m)^n = a^{mn}$. Сначала возведем в квадрат основание $(1+i)$.

Используя формулу квадрата суммы, получаем:

$(1+i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$.

Здесь мы учли, что по определению мнимой единицы $i^2 = -1$.

Теперь возведем полученный результат $2i$ в степень 4:

$(1+i)^8 = ((1+i)^2)^4 = (2i)^4 = 2^4 \cdot i^4 = 16 \cdot i^4$.

Так как $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$, то окончательный результат:

$16 \cdot 1 = 16$.

Ответ: $16$

Для вычисления $(1-i)^{12}$ применим аналогичный подход. Представим степень 12 как $2 \cdot 6$.

Сначала найдем $(1-i)^2$, используя формулу квадрата разности:

$(1-i)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i$.

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$(1-i)^{12} = ((1-i)^2)^6 = (-2i)^6$.

Возведем $-2i$ в шестую степень:

$(-2i)^6 = (-2)^6 \cdot i^6 = 64 \cdot i^6$.

Для нахождения $i^6$ воспользуемся свойством $i^2 = -1$:

$i^6 = (i^2)^3 = (-1)^3 = -1$.

Подставив это значение, получаем окончательный результат:

$64 \cdot i^6 = 64 \cdot (-1) = -64$.

Ответ: $-64$

613. С помощью равенства $(m + ni)(m - ni) = m^2 + n^2$ доказать, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма квадратов двух целых чисел, является также суммой квадратов двух целых чисел.

Чтобы доказать утверждение, рассмотрим два числа, каждое из которых является суммой квадратов двух целых чисел.

Пусть первое число — это $N_1 = a^2 + b^2$, где $a$ и $b$ — целые числа.

Пусть второе число — это $N_2 = c^2 + d^2$, где $c$ и $d$ — целые числа.

Нам нужно доказать, что их произведение $N_1 \cdot N_2$ также можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.

Воспользуемся равенством, данным в условии: $m^2 + n^2 = (m + ni)(m - ni)$, где $i$ — мнимая единица, для которой $i^2 = -1$. Это равенство показывает, что сумму квадратов двух действительных чисел можно представить как произведение комплексно-сопряженных чисел.

Применим это равенство к нашим числам $N_1$ и $N_2$:

$N_1 = a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi)$

$N_2 = c^2 + d^2 = (c + di)(c - di)$

Теперь найдем произведение $N_1 \cdot N_2$:

$N_1 \cdot N_2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = [(a + bi)(a - bi)] \cdot [(c + di)(c - di)]$

Благодаря свойству коммутативности (переместительности) умножения, мы можем изменить порядок множителей:

$N_1 \cdot N_2 = [(a + bi)(c + di)] \cdot [(a - bi)(c - di)]$

Теперь выполним умножение комплексных чисел в каждой из квадратных скобок.

Для первой скобки:

$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = ac + (ad + bc)i - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Для второй скобки:

$(a - bi)(c - di) = ac - adi - bci + bdi^2 = ac - (ad + bc)i - bd = (ac - bd) - (ad + bc)i$

Мы видим, что второе полученное комплексное число является сопряженным первому.

Обозначим новые целые числа: $x = ac - bd$ и $y = ad + bc$. Поскольку $a, b, c, d$ являются целыми числами, их произведения и разности/суммы ($x$ и $y$) также будут целыми числами.

Теперь произведение $N_1 \cdot N_2$ можно записать как:

$N_1 \cdot N_2 = (x + yi)(x - yi)$

Снова применяем исходное равенство $(m + ni)(m - ni) = m^2 + n^2$, где в нашем случае $m=x$ и $n=y$:

$N_1 \cdot N_2 = x^2 + y^2 = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2$

Таким образом, мы представили произведение $N_1 \cdot N_2$ в виде суммы квадратов двух целых чисел: $(ac - bd)$ и $(ad + bc)$. Это доказывает исходное утверждение. Полученная формула известна как тождество Брахмагупты-Фибоначчи.

Ответ: Утверждение доказано. Произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма квадратов двух целых чисел ($a^2+b^2$ и $c^2+d^2$), является также суммой квадратов двух целых чисел: $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$.

614. Доказать, что комплексное число $\frac{1-z}{1+z}$ является чисто мнимым тогда и только тогда, когда $|z|=1$.

Для доказательства данного утверждения мы воспользуемся свойством комплексных чисел: число является чисто мнимым тогда и только тогда, когда его действительная часть равна нулю. Отметим, что выражение определено при $z \neq -1$.

Пусть $w = \frac{1-z}{1+z}$.

Условие того, что число $w$ является чисто мнимым, эквивалентно условию $Re(w) = 0$. Для комплексного числа $w$ это, в свою очередь, эквивалентно равенству $w + \bar{w} = 0$, где $\bar{w}$ — комплексно-сопряженное число.

Найдем $\bar{w}$:

$\bar{w} = \overline{\left(\frac{1-z}{1+z}\right)} = \frac{\overline{1-z}}{\overline{1+z}} = \frac{1-\bar{z}}{1+\bar{z}}$

Теперь рассмотрим сумму $w + \bar{w}$:

$w + \bar{w} = \frac{1-z}{1+z} + \frac{1-\bar{z}}{1+\bar{z}}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(1+z)(1+\bar{z})$:

$w + \bar{w} = \frac{(1-z)(1+\bar{z}) + (1-\bar{z})(1+z)}{(1+z)(1+\bar{z})}$

Раскроем скобки в числителе:

$(1-z)(1+\bar{z}) = 1 + \bar{z} - z - z\bar{z}$

$(1-\bar{z})(1+z) = 1 + z - \bar{z} - \bar{z}z$

Сложим эти два выражения:

$(1 + \bar{z} - z - z\bar{z}) + (1 + z - \bar{z} - z\bar{z}) = 2 - 2z\bar{z}$

Знаменатель равен:

$(1+z)(1+\bar{z}) = 1 + \bar{z} + z + z\bar{z}$

Используя свойство $z\bar{z} = |z|^2$, преобразуем числитель и знаменатель:

Числитель: $2 - 2|z|^2 = 2(1 - |z|^2)$

Знаменатель: $(1+z)(\overline{1+z}) = |1+z|^2$

Таким образом, выражение для $w + \bar{w}$ принимает вид:

$w + \bar{w} = \frac{2(1 - |z|^2)}{|1+z|^2}$

Условие $w + \bar{w} = 0$ выполняется тогда и только тогда, когда числитель этой дроби равен нулю (поскольку знаменатель $|1+z|^2$ не равен нулю, так как мы изначально исключили случай $z = -1$).

$2(1 - |z|^2) = 0$

$1 - |z|^2 = 0$

$|z|^2 = 1$

Поскольку модуль комплексного числа $|z|$ является неотрицательной величиной, из $|z|^2 = 1$ следует, что $|z|=1$.

Таким образом, мы показали, что условие чисто мнимости числа $\frac{1-z}{1+z}$ эквивалентно условию $|z|=1$.

Ответ: Утверждение доказано. Комплексное число $\frac{1-z}{1+z}$ является чисто мнимым тогда и только тогда, когда $|z|=1$.