Страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

621. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} |z+1|=|z+2|, \\ |3z+9|=|5z+10i|; \end{cases}$

2) $\begin{cases} (1-i)\bar{z}=(1+i)z, \\ |z^2+51i|=1. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases}|z+1| = |z+2| \\|3z+9| = |5z+10i|\end{cases}$

Пусть $z = x+iy$, где $x$ и $y$ – действительные числа.

Решим первое уравнение: $|z+1|=|z+2|$.
Геометрически это уравнение означает, что точка $z$ на комплексной плоскости равноудалена от точек $-1$ и $-2$. Множество таких точек — это перпендикулярная биссектриса отрезка, соединяющего эти точки, то есть прямая $Re(z) = \frac{-1+(-2)}{2} = -3/2$.
Алгебраически:
$|(x+1)+iy| = |(x+2)+iy|$
Возведем обе части в квадрат:
$(x+1)^2 + y^2 = (x+2)^2 + y^2$
$x^2+2x+1 = x^2+4x+4$
$2x = -3$
$x = -3/2$

Теперь решим второе уравнение, подставив в него найденное значение $x = -3/2$.
$|3z+9|=|5z+10i|$
Подставим $z = -3/2 + iy$:
$|3(-3/2+iy)+9| = |5(-3/2+iy)+10i|$
$|-9/2+3iy+9| = |-15/2+5iy+10i|$
$|9/2+3iy| = |-15/2+i(5y+10)|$
Возведем обе части в квадрат, используя свойство $|a+bi|^2 = a^2+b^2$:
$(9/2)^2 + (3y)^2 = (-15/2)^2 + (5y+10)^2$
$81/4 + 9y^2 = 225/4 + 25y^2 + 100y + 100$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = (25y^2 - 9y^2) + 100y + 100 + (225/4 - 81/4)$
$0 = 16y^2 + 100y + 100 + 144/4$
$0 = 16y^2 + 100y + 100 + 36$
$16y^2 + 100y + 136 = 0$
Разделим уравнение на 4:
$4y^2 + 25y + 34 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни с помощью дискриминанта.
$D = b^2-4ac = 25^2 - 4 \cdot 4 \cdot 34 = 625 - 544 = 81 = 9^2$.
$y_{1,2} = \frac{-25 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-25 \pm 9}{8}$
$y_1 = \frac{-25-9}{8} = \frac{-34}{8} = -\frac{17}{4}$
$y_2 = \frac{-25+9}{8} = \frac{-16}{8} = -2$

Таким образом, мы получили два решения для $z$:
1) $z_1 = x + iy_1 = -3/2 - i(17/4)$
2) $z_2 = x + iy_2 = -3/2 - 2i$

Ответ: $z_1 = -\frac{3}{2} - \frac{17}{4}i$, $z_2 = -\frac{3}{2} - 2i$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases}(1-i)\bar{z} = (1+i)z \\|z^2+51i| = 1\end{cases}$

Решим первое уравнение.
$(1-i)\bar{z} = (1+i)z \implies \bar{z} = \frac{1+i}{1-i}z$
Вычислим дробь: $\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1+2i-1}{1+1} = \frac{2i}{2} = i$.
Уравнение принимает вид $\bar{z} = iz$.
Пусть $z = x+iy$, тогда $\bar{z} = x-iy$.
$x-iy = i(x+iy)$
$x-iy = ix+i^2y$
$x-iy = -y+ix$
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему:
$\begin{cases}x = -y \\-y = x\end{cases}$
Отсюда следует, что $y=-x$.
Таким образом, комплексное число $z$ имеет вид $z = x - ix = x(1-i)$.

Подставим это выражение для $z$ во второе уравнение $|z^2+51i|=1$.
Сначала найдем $z^2$:
$z^2 = (x(1-i))^2 = x^2 (1-2i+i^2) = x^2 (1-2i-1) = -2ix^2$.
Теперь подставим в уравнение:
$|-2ix^2 + 51i| = 1$
$|i(51 - 2x^2)| = 1$
Используя свойство $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$:
$|i| \cdot |51 - 2x^2| = 1$
Поскольку $|i|=1$, а выражение $51-2x^2$ является действительным числом, его модуль есть абсолютная величина:
$|51 - 2x^2| = 1$

Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:
1) $51 - 2x^2 = 1 \implies 2x^2 = 50 \implies x^2 = 25 \implies x = \pm 5$.
2) $51 - 2x^2 = -1 \implies 2x^2 = 52 \implies x^2 = 26 \implies x = \pm \sqrt{26}$.

Найдем соответствующие значения $z$, помня, что $y=-x$:
- Если $x=5$, то $y=-5$, и $z_1 = 5 - 5i$.
- Если $x=-5$, то $y=5$, и $z_2 = -5 + 5i$.
- Если $x=\sqrt{26}$, то $y=-\sqrt{26}$, и $z_3 = \sqrt{26} - i\sqrt{26}$.
- Если $x=-\sqrt{26}$, то $y=\sqrt{26}$, и $z_4 = -\sqrt{26} + i\sqrt{26}$.

Ответ: $z_1 = 5 - 5i$, $z_2 = -5 + 5i$, $z_3 = \sqrt{26}(1 - i)$, $z_4 = -\sqrt{26}(1 - i)$.

622. Доказать, что система уравнений $ \begin{cases} |z+1-i|=\sqrt{2}, \\ |z|=3 \end{cases} $ не имеет решений.

Для доказательства того, что данная система уравнений не имеет решений, можно использовать два подхода: алгебраический и геометрический.

Способ 1: Алгебраический

Представим комплексное число z в алгебраической форме: z = x + yi, где x и y – действительные числа.

Первое уравнение системы $|z| = 3$ преобразуется к виду:

$|x + yi| = 3$

$\sqrt{x^2 + y^2} = 3$

$x^2 + y^2 = 9$

Второе уравнение системы $|z + 1 - i| = \sqrt{2}$ преобразуется к виду:

$|(x + yi) + 1 - i| = \sqrt{2}$

$|(x + 1) + (y - 1)i| = \sqrt{2}$

$\sqrt{(x+1)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{2}$

$(x+1)^2 + (y-1)^2 = 2$

Таким образом, мы получили систему двух уравнений с двумя действительными переменными x и y:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ (x+1)^2 + (y-1)^2 = 2 \end{cases}$

Раскроем скобки во втором уравнении:

$x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 2$

$(x^2 + y^2) + 2x - 2y + 2 = 2$

Подставим в это уравнение значение $x^2 + y^2 = 9$ из первого уравнения:

$9 + 2x - 2y + 2 = 2$

$11 + 2x - 2y = 2$

$2x - 2y = -9$

Выразим x через y:

$x = y - \frac{9}{2}$

Теперь подставим полученное выражение для x в первое уравнение системы $x^2 + y^2 = 9$:

$(y - \frac{9}{2})^2 + y^2 = 9$

$y^2 - 2 \cdot y \cdot \frac{9}{2} + (\frac{9}{2})^2 + y^2 = 9$

$y^2 - 9y + \frac{81}{4} + y^2 = 9$

$2y^2 - 9y + \frac{81}{4} - \frac{36}{4} = 0$

$2y^2 - 9y + \frac{45}{4} = 0$

Чтобы найти решения для y, вычислим дискриминант $D$ этого квадратного уравнения ($a=2, b=-9, c=\frac{45}{4}$):

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot \frac{45}{4} = 81 - 8 \cdot \frac{45}{4} = 81 - 2 \cdot 45 = 81 - 90 = -9$

Поскольку дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных решений для y. Это означает, что не существует таких действительных чисел x и y, которые бы удовлетворяли системе. Следовательно, исходная система уравнений для комплексного числа z не имеет решений.

Ответ: Так как система уравнений для действительной и мнимой частей числа z не имеет решений, то и исходная система уравнений не имеет решений.

Способ 2: Геометрический

Рассмотрим уравнения системы с геометрической точки зрения на комплексной плоскости.

Уравнение $|z| = 3$, которое можно записать как $|z - 0| = 3$, задает множество точек z, расстояние от которых до начала координат $O(0, 0)$ равно 3. Это окружность с центром в начале координат и радиусом $R_1 = 3$.

Уравнение $|z + 1 - i| = \sqrt{2}$ можно переписать в виде $|z - (-1 + i)| = \sqrt{2}$. Оно задает множество точек z, расстояние от которых до точки $z_0 = -1 + i$ (то есть до точки $C(-1, 1)$ на комплексной плоскости) равно $\sqrt{2}$. Это окружность с центром в точке $C(-1, 1)$ и радиусом $R_2 = \sqrt{2}$.

Решение системы существует тогда и только тогда, когда эти две окружности имеют хотя бы одну общую точку, то есть пересекаются или касаются.

Найдем расстояние d между центрами окружностей $O(0, 0)$ и $C(-1, 1)$:

$d = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Две окружности пересекаются или касаются, если расстояние между их центрами d удовлетворяет условию: $|R_1 - R_2| \le d \le R_1 + R_2$.

В нашем случае $R_1 = 3$, $R_2 = \sqrt{2}$ и $d = \sqrt{2}$.

Проверим это условие:

$|3 - \sqrt{2}| \le \sqrt{2} \le 3 + \sqrt{2}$

$3 - \sqrt{2} \le \sqrt{2} \le 3 + \sqrt{2}$

Правая часть неравенства, $\sqrt{2} \le 3 + \sqrt{2}$, очевидно верна, так как $0 \le 3$.

Проверим левую часть: $3 - \sqrt{2} \le \sqrt{2}$.

Перенесем $\sqrt{2}$ в правую часть:

$3 \le 2\sqrt{2}$

Так как обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат:

$3^2 \le (2\sqrt{2})^2$

$9 \le 4 \cdot 2$

$9 \le 8$

Это неравенство ложно. Поскольку условие пересечения окружностей не выполняется (в частности, $d < |R_1 - R_2|$), окружности не имеют общих точек. Это означает, что меньшая окружность (с радиусом $R_2$) полностью находится внутри большей (с радиусом $R_1$) и не касается ее.

Ответ: Так как геометрические образы уравнений, две окружности, не пересекаются, система не имеет решений.

не имеет решений.

623. Решить систему уравнений

$\begin{cases} \left| \frac{z-4}{z-8} \right| - 1 = 0, \\ \left| \frac{z-12}{z-8i} \right| = \frac{5}{3}. \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений с комплексной переменной $z$, мы проанализируем каждое уравнение по отдельности, а затем объединим полученные результаты.

Рассмотрим первое уравнение системы:

$|\frac{z-4}{z-8}| - 1 = 0$

Перенесем единицу в правую часть и, используя свойство модуля частного $|a/b| = |a|/|b|$, преобразуем уравнение:

$|\frac{z-4}{z-8}| = 1 \implies |z-4| = |z-8|$

Это уравнение имеет простой геометрический смысл. На комплексной плоскости $|z - z_0|$ представляет собой расстояние от точки $z$ до точки $z_0$. Таким образом, уравнение $|z-4| = |z-8|$ описывает множество точек $z$, равноудаленных от точек $z_1 = 4+0i$ и $z_2 = 8+0i$.

Геометрическим местом таких точек является серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точки $(4, 0)$ и $(8, 0)$. Середина этого отрезка находится в точке с координатой $x = \frac{4+8}{2} = 6$. Так как отрезок лежит на действительной оси, серединный перпендикуляр будет вертикальной прямой, проходящей через эту точку. Уравнение этой прямой: $Re(z) = 6$.

Проверим это алгебраически. Пусть $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$.

$|(x-4) + iy| = |(x-8) + iy|$

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от знака модуля:

$(x-4)^2 + y^2 = (x-8)^2 + y^2$

$(x-4)^2 = (x-8)^2$

$x^2 - 8x + 16 = x^2 - 16x + 64$

$16x - 8x = 64 - 16$

$8x = 48 \implies x = 6$

Итак, из первого уравнения мы получаем, что действительная часть искомого комплексного числа равна 6. Следовательно, $z$ можно представить в виде $z = 6 + iy$.

Рассмотрим второе уравнение системы:

$|\frac{z-12}{z-8i}| = \frac{5}{3}$

Преобразуем его, домножив на знаменатель и на 3:

$3|z-12| = 5|z-8i|$

Теперь подставим в это уравнение найденное ранее выражение $z = 6 + iy$:

$3|(6+iy) - 12| = 5|(6+iy) - 8i|$

$3|-6 + iy| = 5|6 + i(y-8)|$

По определению модуля комплексного числа, $|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2}$. Применим это:

$3\sqrt{(-6)^2 + y^2} = 5\sqrt{6^2 + (y-8)^2}$

$3\sqrt{36 + y^2} = 5\sqrt{36 + (y-8)^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$9(36 + y^2) = 25(36 + (y-8)^2)$

$324 + 9y^2 = 25(36 + y^2 - 16y + 64)$

$324 + 9y^2 = 25(y^2 - 16y + 100)$

$324 + 9y^2 = 25y^2 - 400y + 2500$

Соберем все члены в одной части, чтобы получить квадратное уравнение относительно $y$:

$25y^2 - 9y^2 - 400y + 2500 - 324 = 0$

$16y^2 - 400y + 2176 = 0$

Для упрощения разделим уравнение на 16:

$y^2 - 25y + 136 = 0$

Решим это квадратное уравнение, используя формулу для корней:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 136}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 544}}{2} = \frac{25 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{25 \pm 9}{2}$

Отсюда находим два возможных значения для $y$:

$y_1 = \frac{25 + 9}{2} = \frac{34}{2} = 17$

$y_2 = \frac{25 - 9}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Таким образом, мы получили два решения для $z$, так как $x=6$:

$z_1 = 6 + 17i$

$z_2 = 6 + 8i$

Оба решения удовлетворяют ограничениям $z \neq 8$ и $z \neq 8i$, вытекающим из знаменателей в исходной системе.

Ответ: $z_1 = 6 + 17i, z_2 = 6 + 8i$.