Страница 242 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

632. Найти произведение комплексных чисел:

1) $ (\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}); $

2) $ 2(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12}); $

3) $ \sqrt{3}(\cos\frac{5\pi}{24} + i\sin\frac{5\pi}{24}) \cdot 2(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8}); $

4) $ 3(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}) \cdot 4(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6})); $

5) $ \sqrt{2}(\cos 55^{\circ} + i\sin 55^{\circ}) \cdot \sqrt{2}(\cos 35^{\circ} + i\sin 35^{\circ}); $

6) $ (\cos 7 + i\sin 7)(\cos 3 + i\sin 3). $

Для нахождения произведения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме $z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)$, используется следующая формула. Пусть даны два комплексных числа $z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1)$ и $z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2)$. Их произведение равно:

$z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2))$

Это означает, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

1) $(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12})$

В этом примере модули обоих чисел равны 1 ($r_1 = 1, r_2 = 1$), а аргументы равны $\varphi_1 = \frac{\pi}{6}$ и $\varphi_2 = \frac{\pi}{12}$.

Перемножаем модули: $1 \cdot 1 = 1$.

Складываем аргументы: $\varphi_1 + \varphi_2 = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$.

Произведение равно: $1 \cdot (\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}) = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}$.

Вычисляем значения косинуса и синуса: $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Получаем результат: $\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}$

2) $2(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4})(\cos\frac{\pi}{12} + i\sin\frac{\pi}{12})$

Модули чисел: $r_1 = 2, r_2 = 1$. Аргументы: $\varphi_1 = \frac{\pi}{4}, \varphi_2 = \frac{\pi}{12}$.

Произведение модулей: $2 \cdot 1 = 2$.

Сумма аргументов: $\varphi_1 + \varphi_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.

Произведение равно: $2(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$.

Вычисляем значения: $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Получаем результат: $2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1 + i\sqrt{3}$.

Ответ: $1 + i\sqrt{3}$

3) $\sqrt{3}(\cos\frac{5\pi}{24} + i\sin\frac{5\pi}{24}) \cdot 2(\cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8})$

Модули чисел: $r_1 = \sqrt{3}, r_2 = 2$. Аргументы: $\varphi_1 = \frac{5\pi}{24}, \varphi_2 = \frac{\pi}{8}$.

Произведение модулей: $\sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3}$.

Сумма аргументов: $\varphi_1 + \varphi_2 = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi}{8} = \frac{5\pi}{24} + \frac{3\pi}{24} = \frac{8\pi}{24} = \frac{\pi}{3}$.

Произведение равно: $2\sqrt{3}(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3})$.

Вычисляем значения: $2\sqrt{3}(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} + i\frac{2\sqrt{3}\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} + 3i$.

Ответ: $\sqrt{3} + 3i$

4) $3(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}) \cdot 4(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$

Модули чисел: $r_1 = 3, r_2 = 4$. Аргументы: $\varphi_1 = \frac{\pi}{3}, \varphi_2 = -\frac{\pi}{6}$.

Произведение модулей: $3 \cdot 4 = 12$.

Сумма аргументов: $\varphi_1 + \varphi_2 = \frac{\pi}{3} + (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.

Произведение равно: $12(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6})$.

Вычисляем значения: $12(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = 6\sqrt{3} + 6i$.

Ответ: $6\sqrt{3} + 6i$

5) $\sqrt{2}(\cos 55^\circ + i\sin 55^\circ) \cdot \sqrt{2}(\cos 35^\circ + i\sin 35^\circ)$

Модули чисел: $r_1 = \sqrt{2}, r_2 = \sqrt{2}$. Аргументы: $\varphi_1 = 55^\circ, \varphi_2 = 35^\circ$.

Произведение модулей: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$.

Сумма аргументов: $\varphi_1 + \varphi_2 = 55^\circ + 35^\circ = 90^\circ$.

Произведение равно: $2(\cos 90^\circ + i\sin 90^\circ)$.

Вычисляем значения: $2(0 + i \cdot 1) = 2i$.

Ответ: $2i$

6) $(\cos 7 + i\sin 7)(\cos 3 + i\sin 3)$

Модули чисел: $r_1 = 1, r_2 = 1$. Аргументы (в радианах): $\varphi_1 = 7, \varphi_2 = 3$.

Произведение модулей: $1 \cdot 1 = 1$.

Сумма аргументов: $\varphi_1 + \varphi_2 = 7 + 3 = 10$.

Произведение равно: $\cos 10 + i\sin 10$.

Это является конечной формой, так как 10 не является стандартным углом.

Ответ: $\cos 10 + i\sin 10$