Номер 621, страница 237 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 3. Геометрическая интерпретация комплексного числа - номер 621, страница 237.

Условие.

621. Решить систему уравнений:

1) $\begin{cases} |z+1|=|z+2|, \\ |3z+9|=|5z+10i|; \end{cases}$

2) $\begin{cases} (1-i)\bar{z}=(1+i)z, \\ |z^2+51i|=1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases}|z+1| = |z+2| \\|3z+9| = |5z+10i|\end{cases}$

Пусть $z = x+iy$, где $x$ и $y$ – действительные числа.

Решим первое уравнение: $|z+1|=|z+2|$.
Геометрически это уравнение означает, что точка $z$ на комплексной плоскости равноудалена от точек $-1$ и $-2$. Множество таких точек — это перпендикулярная биссектриса отрезка, соединяющего эти точки, то есть прямая $Re(z) = \frac{-1+(-2)}{2} = -3/2$.
Алгебраически:
$|(x+1)+iy| = |(x+2)+iy|$
Возведем обе части в квадрат:
$(x+1)^2 + y^2 = (x+2)^2 + y^2$
$x^2+2x+1 = x^2+4x+4$
$2x = -3$
$x = -3/2$

Теперь решим второе уравнение, подставив в него найденное значение $x = -3/2$.
$|3z+9|=|5z+10i|$
Подставим $z = -3/2 + iy$:
$|3(-3/2+iy)+9| = |5(-3/2+iy)+10i|$
$|-9/2+3iy+9| = |-15/2+5iy+10i|$
$|9/2+3iy| = |-15/2+i(5y+10)|$
Возведем обе части в квадрат, используя свойство $|a+bi|^2 = a^2+b^2$:
$(9/2)^2 + (3y)^2 = (-15/2)^2 + (5y+10)^2$
$81/4 + 9y^2 = 225/4 + 25y^2 + 100y + 100$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = (25y^2 - 9y^2) + 100y + 100 + (225/4 - 81/4)$
$0 = 16y^2 + 100y + 100 + 144/4$
$0 = 16y^2 + 100y + 100 + 36$
$16y^2 + 100y + 136 = 0$
Разделим уравнение на 4:
$4y^2 + 25y + 34 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни с помощью дискриминанта.
$D = b^2-4ac = 25^2 - 4 \cdot 4 \cdot 34 = 625 - 544 = 81 = 9^2$.
$y_{1,2} = \frac{-25 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-25 \pm 9}{8}$
$y_1 = \frac{-25-9}{8} = \frac{-34}{8} = -\frac{17}{4}$
$y_2 = \frac{-25+9}{8} = \frac{-16}{8} = -2$

Таким образом, мы получили два решения для $z$:
1) $z_1 = x + iy_1 = -3/2 - i(17/4)$
2) $z_2 = x + iy_2 = -3/2 - 2i$

Ответ: $z_1 = -\frac{3}{2} - \frac{17}{4}i$, $z_2 = -\frac{3}{2} - 2i$.

2)

Рассмотрим систему уравнений:
$\begin{cases}(1-i)\bar{z} = (1+i)z \\|z^2+51i| = 1\end{cases}$

Решим первое уравнение.
$(1-i)\bar{z} = (1+i)z \implies \bar{z} = \frac{1+i}{1-i}z$
Вычислим дробь: $\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+2i+i^2}{1-i^2} = \frac{1+2i-1}{1+1} = \frac{2i}{2} = i$.
Уравнение принимает вид $\bar{z} = iz$.
Пусть $z = x+iy$, тогда $\bar{z} = x-iy$.
$x-iy = i(x+iy)$
$x-iy = ix+i^2y$
$x-iy = -y+ix$
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем систему:
$\begin{cases}x = -y \\-y = x\end{cases}$
Отсюда следует, что $y=-x$.
Таким образом, комплексное число $z$ имеет вид $z = x - ix = x(1-i)$.

Подставим это выражение для $z$ во второе уравнение $|z^2+51i|=1$.
Сначала найдем $z^2$:
$z^2 = (x(1-i))^2 = x^2 (1-2i+i^2) = x^2 (1-2i-1) = -2ix^2$.
Теперь подставим в уравнение:
$|-2ix^2 + 51i| = 1$
$|i(51 - 2x^2)| = 1$
Используя свойство $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$:
$|i| \cdot |51 - 2x^2| = 1$
Поскольку $|i|=1$, а выражение $51-2x^2$ является действительным числом, его модуль есть абсолютная величина:
$|51 - 2x^2| = 1$

Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:
1) $51 - 2x^2 = 1 \implies 2x^2 = 50 \implies x^2 = 25 \implies x = \pm 5$.
2) $51 - 2x^2 = -1 \implies 2x^2 = 52 \implies x^2 = 26 \implies x = \pm \sqrt{26}$.

Найдем соответствующие значения $z$, помня, что $y=-x$:
- Если $x=5$, то $y=-5$, и $z_1 = 5 - 5i$.
- Если $x=-5$, то $y=5$, и $z_2 = -5 + 5i$.
- Если $x=\sqrt{26}$, то $y=-\sqrt{26}$, и $z_3 = \sqrt{26} - i\sqrt{26}$.
- Если $x=-\sqrt{26}$, то $y=\sqrt{26}$, и $z_4 = -\sqrt{26} + i\sqrt{26}$.

Ответ: $z_1 = 5 - 5i$, $z_2 = -5 + 5i$, $z_3 = \sqrt{26}(1 - i)$, $z_4 = -\sqrt{26}(1 - i)$.