Номер 614, страница 233 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 2. Комплексно сопряжённые числа. Модуль комплексного числа. Операции вычитания и выделения. Глава 7. Комплексные числа - номер 614, страница 233.

Условие.

614. Доказать, что комплексное число $\frac{1-z}{1+z}$ является чисто мнимым тогда и только тогда, когда $|z|=1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для доказательства данного утверждения мы воспользуемся свойством комплексных чисел: число является чисто мнимым тогда и только тогда, когда его действительная часть равна нулю. Отметим, что выражение определено при $z \neq -1$.

Пусть $w = \frac{1-z}{1+z}$.

Условие того, что число $w$ является чисто мнимым, эквивалентно условию $Re(w) = 0$. Для комплексного числа $w$ это, в свою очередь, эквивалентно равенству $w + \bar{w} = 0$, где $\bar{w}$ — комплексно-сопряженное число.

Найдем $\bar{w}$:

$\bar{w} = \overline{\left(\frac{1-z}{1+z}\right)} = \frac{\overline{1-z}}{\overline{1+z}} = \frac{1-\bar{z}}{1+\bar{z}}$

Теперь рассмотрим сумму $w + \bar{w}$:

$w + \bar{w} = \frac{1-z}{1+z} + \frac{1-\bar{z}}{1+\bar{z}}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(1+z)(1+\bar{z})$:

$w + \bar{w} = \frac{(1-z)(1+\bar{z}) + (1-\bar{z})(1+z)}{(1+z)(1+\bar{z})}$

Раскроем скобки в числителе:

$(1-z)(1+\bar{z}) = 1 + \bar{z} - z - z\bar{z}$

$(1-\bar{z})(1+z) = 1 + z - \bar{z} - \bar{z}z$

Сложим эти два выражения:

$(1 + \bar{z} - z - z\bar{z}) + (1 + z - \bar{z} - z\bar{z}) = 2 - 2z\bar{z}$

Знаменатель равен:

$(1+z)(1+\bar{z}) = 1 + \bar{z} + z + z\bar{z}$

Используя свойство $z\bar{z} = |z|^2$, преобразуем числитель и знаменатель:

Числитель: $2 - 2|z|^2 = 2(1 - |z|^2)$

Знаменатель: $(1+z)(\overline{1+z}) = |1+z|^2$

Таким образом, выражение для $w + \bar{w}$ принимает вид:

$w + \bar{w} = \frac{2(1 - |z|^2)}{|1+z|^2}$

Условие $w + \bar{w} = 0$ выполняется тогда и только тогда, когда числитель этой дроби равен нулю (поскольку знаменатель $|1+z|^2$ не равен нулю, так как мы изначально исключили случай $z = -1$).

$2(1 - |z|^2) = 0$

$1 - |z|^2 = 0$

$|z|^2 = 1$

Поскольку модуль комплексного числа $|z|$ является неотрицательной величиной, из $|z|^2 = 1$ следует, что $|z|=1$.

Таким образом, мы показали, что условие чисто мнимости числа $\frac{1-z}{1+z}$ эквивалентно условию $|z|=1$.

Ответ: Утверждение доказано. Комплексное число $\frac{1-z}{1+z}$ является чисто мнимым тогда и только тогда, когда $|z|=1$.