Номер 630, страница 240 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой, розовый

ISBN: 978-5-09-087603-2

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 4. Тригонометрическая форма комплексного числа. Глава 7. Комплексные числа - номер 630, страница 240.

№630 (с. 240)
Условие. №630 (с. 240)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 240, номер 630, Условие

630. Доказать, что если $|z|=1$, то $\bar{z}=\frac{1}{z}$.

Решение 1. №630 (с. 240)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 240, номер 630, Решение 1
Решение 2. №630 (с. 240)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна, Федорова Надежда Евгеньевна, Шабунин Михаил Иванович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 240, номер 630, Решение 2
Решение 3. №630 (с. 240)

Чтобы доказать данное утверждение, мы можем рассмотреть комплексное число $z$ в различных формах представления. Приведем два наиболее распространенных способа доказательства.

Способ 1: Через алгебраическую форму

Пусть комплексное число $z$ имеет вид $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Модуль комплексного числа $|z|$ определяется как $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

По условию задачи $|z|=1$, что означает $\sqrt{x^2 + y^2} = 1$. Возводя обе части уравнения в квадрат, мы получаем важное соотношение: $x^2 + y^2 = 1$.

Комплексно-сопряженное число к $z$ равно $\bar{z} = x - iy$.

Теперь рассмотрим выражение $\frac{1}{z}$. Чтобы избавиться от комплексности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $x - iy$:

$$ \frac{1}{z} = \frac{1}{x + iy} = \frac{1 \cdot (x - iy)}{(x + iy)(x - iy)} = \frac{x - iy}{x^2 - (iy)^2} = \frac{x - iy}{x^2 + y^2} $$

Используя полученное ранее соотношение $x^2 + y^2 = 1$, подставим его в знаменатель:

$$ \frac{1}{z} = \frac{x - iy}{1} = x - iy $$

Сравнивая результат с выражением для $\bar{z}$, мы видим, что $\frac{1}{z} = \bar{z}$, что и требовалось доказать.

Способ 2: Через свойство модуля

Этот способ является более коротким. Воспользуемся основным свойством, связывающим любое комплексное число $z$, его сопряженное $\bar{z}$ и его модуль $|z|$:

$$ z \cdot \bar{z} = |z|^2 $$

Согласно условию задачи, $|z| = 1$. Следовательно, $|z|^2 = 1^2 = 1$.

Подставим это значение в свойство:

$$ z \cdot \bar{z} = 1 $$

Поскольку $|z| = 1$, число $z$ не может быть равно нулю ($z \neq 0$), поэтому мы имеем право разделить обе части уравнения на $z$:

$$ \bar{z} = \frac{1}{z} $$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если $|z|=1$, то $\bar{z}=\frac{1}{z}$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 630 расположенного на странице 240 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №630 (с. 240), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.