Номер 630, страница 240 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 7. Комплексные числа. Параграф 4. Тригонометрическая форма комплексного числа - номер 630, страница 240.

Условие.

630. Доказать, что если $|z|=1$, то $\bar{z}=\frac{1}{z}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы доказать данное утверждение, мы можем рассмотреть комплексное число $z$ в различных формах представления. Приведем два наиболее распространенных способа доказательства.

Способ 1: Через алгебраическую форму

Пусть комплексное число $z$ имеет вид $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Модуль комплексного числа $|z|$ определяется как $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

По условию задачи $|z|=1$, что означает $\sqrt{x^2 + y^2} = 1$. Возводя обе части уравнения в квадрат, мы получаем важное соотношение: $x^2 + y^2 = 1$.

Комплексно-сопряженное число к $z$ равно $\bar{z} = x - iy$.

Теперь рассмотрим выражение $\frac{1}{z}$. Чтобы избавиться от комплексности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $x - iy$:

$$ \frac{1}{z} = \frac{1}{x + iy} = \frac{1 \cdot (x - iy)}{(x + iy)(x - iy)} = \frac{x - iy}{x^2 - (iy)^2} = \frac{x - iy}{x^2 + y^2} $$

Используя полученное ранее соотношение $x^2 + y^2 = 1$, подставим его в знаменатель:

$$ \frac{1}{z} = \frac{x - iy}{1} = x - iy $$

Сравнивая результат с выражением для $\bar{z}$, мы видим, что $\frac{1}{z} = \bar{z}$, что и требовалось доказать.

Способ 2: Через свойство модуля

Этот способ является более коротким. Воспользуемся основным свойством, связывающим любое комплексное число $z$, его сопряженное $\bar{z}$ и его модуль $|z|$:

$$ z \cdot \bar{z} = |z|^2 $$

Согласно условию задачи, $|z| = 1$. Следовательно, $|z|^2 = 1^2 = 1$.

Подставим это значение в свойство:

$$ z \cdot \bar{z} = 1 $$

Поскольку $|z| = 1$, число $z$ не может быть равно нулю ($z \neq 0$), поэтому мы имеем право разделить обе части уравнения на $z$:

$$ \bar{z} = \frac{1}{z} $$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если $|z|=1$, то $\bar{z}=\frac{1}{z}$.