Номер 630, страница 240 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Авторы: Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Федорова Н. Е., Шабунин М. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой, розовый
ISBN: 978-5-09-087603-2
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 4. Тригонометрическая форма комплексного числа. Глава 7. Комплексные числа - номер 630, страница 240.
№630 (с. 240)
Условие. №630 (с. 240)
скриншот условия

630. Доказать, что если $|z|=1$, то $\bar{z}=\frac{1}{z}$.
Решение 1. №630 (с. 240)

Решение 2. №630 (с. 240)

Решение 3. №630 (с. 240)
Чтобы доказать данное утверждение, мы можем рассмотреть комплексное число $z$ в различных формах представления. Приведем два наиболее распространенных способа доказательства.
Способ 1: Через алгебраическую форму
Пусть комплексное число $z$ имеет вид $z = x + iy$, где $x, y \in \mathbb{R}$. Модуль комплексного числа $|z|$ определяется как $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
По условию задачи $|z|=1$, что означает $\sqrt{x^2 + y^2} = 1$. Возводя обе части уравнения в квадрат, мы получаем важное соотношение: $x^2 + y^2 = 1$.
Комплексно-сопряженное число к $z$ равно $\bar{z} = x - iy$.
Теперь рассмотрим выражение $\frac{1}{z}$. Чтобы избавиться от комплексности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, то есть на $x - iy$:
$$ \frac{1}{z} = \frac{1}{x + iy} = \frac{1 \cdot (x - iy)}{(x + iy)(x - iy)} = \frac{x - iy}{x^2 - (iy)^2} = \frac{x - iy}{x^2 + y^2} $$
Используя полученное ранее соотношение $x^2 + y^2 = 1$, подставим его в знаменатель:
$$ \frac{1}{z} = \frac{x - iy}{1} = x - iy $$
Сравнивая результат с выражением для $\bar{z}$, мы видим, что $\frac{1}{z} = \bar{z}$, что и требовалось доказать.
Способ 2: Через свойство модуля
Этот способ является более коротким. Воспользуемся основным свойством, связывающим любое комплексное число $z$, его сопряженное $\bar{z}$ и его модуль $|z|$:
$$ z \cdot \bar{z} = |z|^2 $$
Согласно условию задачи, $|z| = 1$. Следовательно, $|z|^2 = 1^2 = 1$.
Подставим это значение в свойство:
$$ z \cdot \bar{z} = 1 $$
Поскольку $|z| = 1$, число $z$ не может быть равно нулю ($z \neq 0$), поэтому мы имеем право разделить обе части уравнения на $z$:
$$ \bar{z} = \frac{1}{z} $$
Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Доказано, что если $|z|=1$, то $\bar{z}=\frac{1}{z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 630 расположенного на странице 240 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №630 (с. 240), авторов: Колягин (Юрий Михайлович), Ткачева (Мария Владимировна), Федорова (Надежда Евгеньевна), Шабунин (Михаил Иванович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.