Страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

558. Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что не выпадут 3 очка?

При броске стандартной игральной кости существует 6 равновероятных исходов, так как на ее гранях нанесены числа от 1 до 6. Таким образом, общее число возможных исходов $n = 6$.

Нас интересует событие, при котором не выпадет 3 очка. Это означает, что результатом броска может быть любое из следующих чисел: 1, 2, 4, 5, 6.

Число исходов, благоприятствующих этому событию, равно 5. Следовательно, $m = 5$.

Вероятность события $P$ вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов $m$ к общему числу всех возможных исходов $n$:
$P = \frac{m}{n}$

Подставляя найденные значения, получаем:
$P = \frac{5}{6}$
Ответ: $\frac{5}{6}$

559. Брошены монета и игральная кость. Какова вероятность того, что выпадут орёл и 6 очков?

Для решения этой задачи мы имеем дело с двумя независимыми событиями: бросок монеты и бросок игральной кости. События являются независимыми, так как результат одного не влияет на результат другого.

Вероятность искомого сложного события (выпадет орёл и 6 очков) равна произведению вероятностей каждого из этих независимых событий.

1. Найдём вероятность выпадения орла при броске монеты.
У монеты 2 равновероятных исхода: орёл и решка. Благоприятным для нас является 1 исход — выпадение орла.
Вероятность выпадения орла ($P_{орёл}$) равна:
$P_{орёл} = \frac{1}{2}$

2. Найдём вероятность выпадения 6 очков при броске игральной кости.
У игральной кости 6 равновероятных исходов (выпадение граней с числами от 1 до 6). Благоприятным для нас является 1 исход — выпадение 6 очков.
Вероятность выпадения 6 очков ($P_{6}$) равна:
$P_{6} = \frac{1}{6}$

3. Найдём вероятность одновременного наступления этих событий.
Для этого перемножим вероятности, найденные на предыдущих шагах:
$P(\text{орёл и 6 очков}) = P_{орёл} \times P_{6} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$

560. По мишени стреляют 2 раза. Вероятность попадания в мишень при первом выстреле равна 0,8, при втором выстреле — 0,9. Какова вероятность того, что мишень не будет поражена ни одним выстрелом?

Для решения данной задачи нам необходимо найти вероятность события, при котором произойдут два независимых промаха подряд.

Сначала определим вероятность промаха для каждого выстрела. Вероятность промаха является событием, противоположным попаданию, и вычисляется как единица минус вероятность попадания.

1. Вероятность попадания при первом выстреле равна $0,8$.
Следовательно, вероятность промаха при первом выстреле составляет:
$P_1(\text{промах}) = 1 - P_1(\text{попадание}) = 1 - 0,8 = 0,2$.

2. Вероятность попадания при втором выстреле равна $0,9$.
Следовательно, вероятность промаха при втором выстреле составляет:
$P_2(\text{промах}) = 1 - P_2(\text{попадание}) = 1 - 0,9 = 0,1$.

События "промах при первом выстреле" и "промах при втором выстреле" являются независимыми. Чтобы найти вероятность того, что оба этих события произойдут вместе (то есть, мишень не будет поражена ни одним выстрелом), нужно перемножить их вероятности.

Вероятность того, что мишень не будет поражена ни одним выстрелом, равна:
$P(\text{оба промаха}) = P_1(\text{промах}) \times P_2(\text{промах}) = 0,2 \times 0,1 = 0,02$.

Ответ: 0,02.

561. Игральная кость брошена 2 раза. Найти вероятность того, что оба раза появится одинаковое число очков.

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов.

1. Найдем общее число всех возможных исходов.При первом броске игральной кости может выпасть любое число очков от 1 до 6, то есть существует 6 возможных исходов.При втором броске также существует 6 возможных исходов.Так как результаты бросков независимы друг от друга, общее число всех возможных комбинаций (элементарных исходов) при двух бросках равно произведению числа исходов для каждого броска.Обозначим общее число исходов $N$.$N = 6 \times 6 = 36$.

2. Найдем число благоприятных исходов.Благоприятным исходом является событие, при котором оба раза выпадает одинаковое число очков.Перечислим все такие исходы:

• (1, 1) - в первый раз выпало 1 и во второй раз выпало 1
• (2, 2) - в первый раз выпало 2 и во второй раз выпало 2
• (3, 3) - в первый раз выпало 3 и во второй раз выпало 3
• (4, 4) - в первый раз выпало 4 и во второй раз выпало 4
• (5, 5) - в первый раз выпало 5 и во второй раз выпало 5
• (6, 6) - в первый раз выпало 6 и во второй раз выпало 6

Таким образом, число благоприятных исходов, которое мы обозначим как $M$, равно 6.

3. Вычислим вероятность.Вероятность события $A$ (выпадение одинакового числа очков) вычисляется по формуле:$P(A) = \frac{M}{N}$Подставим найденные значения $M$ и $N$:$P(A) = \frac{6}{36}$Сократим полученную дробь:$P(A) = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

562. Из урны, содержащей 3 чёрных, 4 белых и 5 красных шаров, наудачу вынимают один. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется:

1) чёрным;

2) чёрным или белым?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$. Формула имеет вид: $P = \frac{m}{n}$.

Сначала найдем общее число шаров в урне, которое и будет общим числом всех возможных исходов $n$.

$n = 3 \text{ (чёрных)} + 4 \text{ (белых)} + 5 \text{ (красных)} = 12$.

Таким образом, общее число равновозможных исходов при вынимании одного шара равно 12.

1) чёрным
Событие A — вынутый шар окажется чёрным. Число благоприятствующих этому событию исходов $m$ равно количеству чёрных шаров в урне, то есть $m = 3$. Вероятность того, что вынутый шар окажется чёрным, равна:
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

2) чёрным или белым
Событие B — вынутый шар окажется чёрным или белым. Число благоприятствующих этому событию исходов $m$ равно сумме количества чёрных и белых шаров в урне:
$m = 3 \text{ (чёрных)} + 4 \text{ (белых)} = 7$.
Вероятность того, что вынутый шар окажется чёрным или белым, равна:
$P(B) = \frac{m}{n} = \frac{7}{12}$.
Ответ: $\frac{7}{12}$.

563. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что 3 очка появятся хотя бы на одной из костей.

Для решения этой задачи по теории вероятностей мы используем классическое определение вероятности: вероятность события равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу всех равновозможных исходов. Формула имеет вид: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число исходов, а $m$ — число благоприятных исходов.

Сначала определим общее число всех возможных исходов при броске двух игральных костей. У каждой кости 6 граней, поэтому при броске двух костей общее число различных комбинаций $n$ будет равно произведению числа исходов для каждой кости:

$n = 6 \times 6 = 36$

Далее нам нужно найти число благоприятных исходов $m$ для события A: «3 очка появятся хотя бы на одной из костей». Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование противоположного события

Проще найти вероятность противоположного события $\bar{A}$, которое заключается в том, что «тройка не появится ни на одной из костей». Затем, чтобы найти вероятность исходного события $A$, мы вычтем вероятность $\bar{A}$ из единицы.

Для того чтобы на одной кости не выпала тройка, есть 5 возможных исходов (1, 2, 4, 5, 6). Так как кости две, и события независимы, число исходов, при которых тройка не выпадет ни на одной из них, равно:

$m(\bar{A}) = 5 \times 5 = 25$

Вероятность противоположного события $P(\bar{A})$ составляет:

$P(\bar{A}) = \frac{m(\bar{A})}{n} = \frac{25}{36}$

Теперь найдем искомую вероятность события $A$:

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{36}{36} - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

Способ 2: Прямой подсчет благоприятных исходов

Мы можем перечислить все комбинации, в которых есть хотя бы одна тройка. Пусть (x, y) — пара чисел, выпавших на первой и второй кости соответственно.

Исходы, где на первой кости выпала тройка: (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6). Всего 6 исходов.

Исходы, где на второй кости выпала тройка: (1, 3), (2, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3). Здесь 5 исходов, так как исход (3, 3) уже был учтен в первой группе, чтобы не считать его дважды.

Таким образом, общее число благоприятных исходов $m$ равно сумме исходов из этих двух групп:

$m = 6 + 5 = 11$

Тогда искомая вероятность равна:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{11}{36}$

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: $ \frac{11}{36} $

564. Из колоды в 36 карт последовательно наугад вынимают две карты и не возвращают обратно. Найти вероятность того, что:

1) вынуты два туза;

2) сначала извлечён туз, а затем дама;

3) вынуты 2 карты бубновой масти;

4) вторым извлечён туз, если известно, что первой была вынута дама.

В колоде 36 карт. Карты вынимают последовательно и не возвращают обратно. Это означает, что после извлечения первой карты в колоде остается 35 карт, а после второй — 34.

1) вынуты два туза

Это составное событие, состоящее из двух последовательных зависимых событий: A - первая вынутая карта является тузом, и B - вторая вынутая карта также является тузом. Вероятность этого события находится по формуле умножения вероятностей зависимых событий: $P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B|A)$.
В колоде из 36 карт 4 туза. Вероятность вынуть первого туза (событие A) равна:
$P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$
После того как был вынут один туз, в колоде осталось 35 карт, из которых 3 туза. Вероятность вынуть второй туз при условии, что первый уже был вынут (событие B|A), равна:
$P(B|A) = \frac{3}{35}$
Теперь найдем вероятность того, что обе карты — тузы:
$P(\text{оба туза}) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{4}{36} \cdot \frac{3}{35} = \frac{12}{1260} = \frac{1}{105}$
Ответ: $\frac{1}{105}$

2) сначала извлечён туз, а затем дама

Это также составное событие. Пусть событие A - первая карта туз, а событие D - вторая карта дама.
В колоде 36 карт, из них 4 туза и 4 дамы.
Вероятность вынуть туза первой картой:
$P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$
После того как вынут туз, в колоде осталось 35 карт. Количество дам не изменилось — их по-прежнему 4. Вероятность вынуть даму второй картой при условии, что первая была тузом (событие D|A), равна:
$P(D|A) = \frac{4}{35}$
Вероятность вынуть сначала туза, а потом даму:
$P(A \text{ и } D) = P(A) \cdot P(D|A) = \frac{4}{36} \cdot \frac{4}{35} = \frac{16}{1260} = \frac{4}{315}$
Ответ: $\frac{4}{315}$

3) вынуты 2 карты бубновой масти

В колоде из 36 карт 4 масти, значит карт каждой масти по $36 / 4 = 9$. В частности, в колоде 9 карт бубновой масти.
Пусть событие D1 - первая карта бубновая, а D2 - вторая карта бубновая.
Вероятность вынуть первую карту бубновой масти:
$P(D1) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$
После этого в колоде остается 35 карт, из которых 8 карт бубновой масти. Вероятность вынуть вторую бубновую карту:
$P(D2|D1) = \frac{8}{35}$
Искомая вероятность:
$P(D1 \text{ и } D2) = P(D1) \cdot P(D2|D1) = \frac{9}{36} \cdot \frac{8}{35} = \frac{72}{1260} = \frac{2}{35}$
Ответ: $\frac{2}{35}$

4) вторым извлечён туз, если известно, что первой была вынута дама

Это задача на условную вероятность. Событие "первой была вынута дама" уже произошло. Это наше условие.
После того как из колоды в 36 карт вынули одну даму, в ней осталось $36 - 1 = 35$ карт.
Так как первая карта была дамой, все 4 туза остались в колоде.
Таким образом, вероятность вынуть туз из оставшихся 35 карт равна:
$P(\text{второй туз | первая дама}) = \frac{\text{количество тузов}}{\text{оставшееся количество карт}} = \frac{4}{35}$
Ответ: $\frac{4}{35}$

565. В урне находится 10 белых и 10 чёрных шаров. Из неё последовательно вынимают 2 шара и не возвращают обратно. Какова вероятность того, что:

1) оба раза извлекались шары чёрного цвета;

2) первым вынут белый шар, а вторым — чёрный;

3) вторым извлечён чёрный шар, если известно, что первым был вынут белый шар?

В урне находятся 10 белых и 10 чёрных шаров, всего $10 + 10 = 20$ шаров. Извлечение двух шаров происходит последовательно и без возвращения, поэтому события являются зависимыми.

1) оба раза извлекались шары чёрного цвета;

Обозначим события:
$A$ – первым извлечён чёрный шар.
$B$ – вторым извлечён чёрный шар.
Нам нужно найти вероятность совместного наступления этих событий, то есть $P(A \cap B)$. По теореме умножения вероятностей для зависимых событий: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$.

Вероятность того, что первым будет вынут чёрный шар, равна: $P(A) = \frac{\text{количество чёрных шаров}}{\text{общее количество шаров}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.

После того, как вынули один чёрный шар, в урне осталось 19 шаров, из которых 9 чёрных. Вероятность вынуть вторым чёрный шар при условии, что первый уже был чёрным, равна: $P(B|A) = \frac{\text{оставшееся количество чёрных шаров}}{\text{оставшееся общее количество шаров}} = \frac{9}{19}$.

Теперь найдём искомую вероятность: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{10}{20} \cdot \frac{9}{19} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{19} = \frac{9}{38}$.

Ответ: $\frac{9}{38}$

2) первым вынут белый шар, а вторым — чёрный;

Обозначим события:
$C$ – первым извлечён белый шар.
$D$ – вторым извлечён чёрный шар.
Нам нужно найти вероятность $P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D|C)$.

Вероятность того, что первым будет вынут белый шар, равна: $P(C) = \frac{\text{количество белых шаров}}{\text{общее количество шаров}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.

После того, как вынули один белый шар, в урне осталось 19 шаров, из которых 10 по-прежнему чёрные. Вероятность вынуть вторым чёрный шар при условии, что первый был белым, равна: $P(D|C) = \frac{\text{количество чёрных шаров}}{\text{оставшееся общее количество шаров}} = \frac{10}{19}$.

Найдём искомую вероятность: $P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D|C) = \frac{10}{20} \cdot \frac{10}{19} = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{19} = \frac{10}{38} = \frac{5}{19}$.

Ответ: $\frac{5}{19}$

3) вторым извлечён чёрный шар, если известно, что первым был вынут белый шар?

Это задача на условную вероятность. Нам нужно найти вероятность того, что второй шар – чёрный, при условии, что первый шар – белый. Обозначим события, как в пункте 2:
$C$ – первым извлечён белый шар.
$D$ – вторым извлечён чёрный шар.
Требуется найти $P(D|C)$.

Условие "известно, что первым был вынут белый шар" означает, что событие $C$ уже произошло. После этого в урне осталось 19 шаров: 9 белых и 10 чёрных.

Вероятность извлечь чёрный шар из этого нового набора шаров равна: $P(D|C) = \frac{\text{количество чёрных шаров}}{\text{новое общее количество шаров}} = \frac{10}{19}$.

Ответ: $\frac{10}{19}$

566. Брошены три монеты. Найти вероятность того, что выпало не более двух орлов.

Для решения задачи определим общее число возможных исходов и число исходов, благоприятствующих событию.

При броске одной монеты есть два равновероятных исхода: орел (О) или решка (Р). Когда бросают три монеты, общее число всех возможных элементарных исходов равно $N = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$.

Перечислим все возможные комбинации выпадения орлов и решек для трех монет:

1. О, О, О (три орла)
2. О, О, Р (два орла)
3. О, Р, О (два орла)
4. Р, О, О (два орла)
5. О, Р, Р (один орел)
6. Р, О, Р (один орел)
7. Р, Р, О (один орел)
8. Р, Р, Р (ноль орлов)

Событие A, вероятность которого нам нужно найти, заключается в том, что "выпало не более двух орлов". Это означает, что количество орлов, выпавших на трех монетах, должно быть равно 0, 1 или 2.

Рассмотрим два способа решения.

Способ 1: Прямой подсчет благоприятных исходов

Найдем количество исходов ($m$), которые удовлетворяют условию "не более двух орлов":

• 0 орлов: РРР - 1 исход.
• 1 орел: ОРР, РОР, РРО - 3 исхода.
• 2 орла: ООР, ОРО, РОО - 3 исхода.

Суммарное число благоприятных исходов: $m = 1 + 3 + 3 = 7$.

Вероятность события A вычисляется по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{7}{8}$

Способ 2: Использование противоположного события

Противоположное событие A' для нашего события A ("выпало не более двух орлов") — это событие, при котором "выпало более двух орлов". При трех бросках это означает, что "выпало ровно три орла".

Из всех восьми возможных исходов этому условию удовлетворяет только один: О, О, О.

Вероятность противоположного события A' равна:

$P(A') = \frac{1}{8}$

Сумма вероятностей прямого и противоположного событий всегда равна 1, то есть $P(A) + P(A') = 1$. Отсюда можем найти искомую вероятность:

$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{1}{8} = \frac{8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Оба способа дают один и тот же результат.

Ответ: $\frac{7}{8}$

567. Из полного набора костей домино берутся наугад две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.

Для решения этой задачи по теории вероятностей, определим общее число исходов и число благоприятных исходов. Процесс состоит из двух шагов: выбор первой кости и выбор второй кости.

1. Характеристики набора домино

Стандартный набор домино включает кости, где каждая половинка имеет от 0 до 6 точек. Кость можно представить как пару чисел $(a, b)$, где $0 \le a \le b \le 6$.

Общее количество костей в наборе составляет 28. Это можно рассчитать как число сочетаний с повторениями из 7 элементов (числа от 0 до 6) по 2:

$N = C_{7+2-1}^{2} = C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$.

Кости домино делятся на два типа:

• Дубли: кости с одинаковыми числами на половинках, вида $(a, a)$. Всего их 7: (0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6).
• Не-дубли: кости с разными числами, вида $(a, b)$ где $a \neq b$. Их $28 - 7 = 21$.

2. Условие составления цепи

Вторую кость можно приставить к первой, если у них есть общее число. Например, к кости $(a, b)$ можно приставить кость $(c, d)$, если хотя бы одно из чисел первой кости совпадает с одним из чисел второй.

3. Расчет вероятности

Для нахождения искомой вероятности воспользуемся формулой полной вероятности. Вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой, зависит от типа первой вытянутой кости.

Пусть $A$ — событие, состоящее в том, что вторую кость можно приставить к первой.

Рассмотрим две возможные гипотезы относительно первой кости:

• $H_1$ — первая вытянутая кость является дублем.
• $H_2$ — первая вытянутая кость не является дублем.

Вероятности этих гипотез равны:

$P(H_1) = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$

$P(H_2) = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$

Теперь вычислим условные вероятности события $A$ для каждой гипотезы. После выбора первой кости в наборе остается 27 костей.

Случай 1: Первая кость — дубль (гипотеза $H_1$).

Пусть это кость $(k, k)$. Чтобы вторую кость можно было к ней приставить, она должна содержать число $k$. В полном наборе существует 7 костей с числом $k$: $(k,0), (k,1), \dots, (k,6)$. Поскольку одна из них — $(k,k)$ — уже выбрана, в наборе остается $7 - 1 = 6$ подходящих костей.

Условная вероятность в этом случае:

$P(A|H_1) = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$.

Случай 2: Первая кость — не-дубль (гипотеза $H_2$).

Пусть это кость $(k, m)$, где $k \neq m$. Вторая кость должна содержать либо число $k$, либо число $m$.

Количество костей с числом $k$ в полном наборе — 7. Количество костей с числом $m$ — также 7. Кость $(k,m)$ входит в обе группы, поэтому общее число костей, содержащих $k$ или $m$, равно $7 + 7 - 1 = 13$.

Так как кость $(k,m)$ уже выбрана, в наборе остается $13 - 1 = 12$ подходящих костей.

Условная вероятность в этом случае:

$P(A|H_2) = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$.

Итоговая вероятность

По формуле полной вероятности, полная вероятность события $A$ равна:

$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)$

$P(A) = \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{27} + \frac{3}{4} \cdot \frac{12}{27} = \frac{6}{108} + \frac{36}{108} = \frac{42}{108}$

Сокращая полученную дробь, находим ответ:

$P(A) = \frac{42}{108} = \frac{21}{54} = \frac{7}{18}$.

Ответ: $\frac{7}{18}$

568. В лотерее из 100 билетов 10 выигрышных. Какова вероятность того, что ни на один из трёх купленных билетов не выпадет выигрыш?

Для решения этой задачи определим общее количество билетов и количество выигрышных и проигрышных билетов.

Всего билетов: $N = 100$.

Выигрышных билетов: $K = 10$.

Следовательно, проигрышных билетов: $M = N - K = 100 - 10 = 90$.

Нам нужно найти вероятность того, что все три купленных билета окажутся проигрышными. Это задача на нахождение вероятности последовательных зависимых событий, так как каждый купленный билет уменьшает общее количество оставшихся билетов.

Рассчитаем вероятность последовательно для каждого билета.

1. Вероятность того, что первый купленный билет будет проигрышным.
Изначально имеется 90 проигрышных билетов из 100. Вероятность этого события $P_1$ равна:

$P_1 = \frac{90}{100}$

2. Вероятность того, что второй купленный билет тоже будет проигрышным, при условии, что первый уже был проигрышным.
После покупки одного проигрышного билета осталось 99 билетов, из которых 89 — проигрышные. Вероятность этого события $P_2$ равна:

$P_2 = \frac{89}{99}$

3. Вероятность того, что и третий купленный билет будет проигрышным, при условии, что первые два были проигрышными.
После покупки двух проигрышных билетов осталось 98 билетов, из которых 88 — проигрышные. Вероятность этого события $P_3$ равна:

$P_3 = \frac{88}{98}$

Чтобы найти общую вероятность того, что все три события произойдут вместе, нужно перемножить вероятности этих событий:

$P = P_1 \times P_2 \times P_3 = \frac{90}{100} \times \frac{89}{99} \times \frac{88}{98}$

Теперь упростим полученное выражение:

$P = \frac{90 \times 89 \times 88}{100 \times 99 \times 98} = \frac{9 \times 10 \times 89 \times 8 \times 11}{10 \times 10 \times 9 \times 11 \times 98}$

Сокращаем общие множители (9, 10, 11):

$P = \frac{89 \times 8}{10 \times 98}$

Сокращаем на 2:

$P = \frac{89 \times 4}{5 \times 98}$

Еще раз сокращаем на 2:

$P = \frac{89 \times 2}{5 \times 49} = \frac{178}{245}$

Можно также представить ответ в виде десятичной дроби:

$P = \frac{178}{245} \approx 0.7265$

Ответ: $\frac{178}{245}$

569. В лотерее $n$ билетов, из которых $m$ выигрышные. Найти вероятность выигрыша (наличия хотя бы одного выигрышного билета) у того, кто имеет $k$ билетов ($k \le n - m$).

Для решения данной задачи определим общее число исходов и число исходов, благоприятствующих искомому событию. Проще всего найти вероятность противоположного события, а затем вычесть ее из единицы.

Пусть событие $A$ — «среди $k$ купленных билетов есть хотя бы один выигрышный».

Тогда противоположное событие $\overline{A}$ — «среди $k$ купленных билетов нет ни одного выигрышного», то есть все $k$ билетов являются проигрышными.

Вероятность события $A$ вычисляется по формуле: $P(A) = 1 - P(\overline{A})$.

Найдем вероятность события $\overline{A}$ по классической формуле вероятности: $P(\overline{A}) = \frac{N_{fav}}{N_{total}}$, где $N_{total}$ — общее число возможных исходов, а $N_{fav}$ — число исходов, благоприятствующих событию $\overline{A}$.

Общее число исходов — это количество способов выбрать $k$ билетов из общего числа $n$ билетов. Это число сочетаний из $n$ по $k$:$N_{total} = C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Число невыигрышных билетов в лотерее составляет $n - m$.Число исходов, благоприятствующих событию $\overline{A}$ (все $k$ билетов — невыигрышные), равно количеству способов выбрать $k$ билетов из $n-m$ невыигрышных. Условие $k \le n - m$ гарантирует, что такой выбор возможен. Это число сочетаний из $n-m$ по $k$:$N_{fav} = C_{n-m}^k = \frac{(n-m)!}{k!(n-m-k)!}$

Теперь мы можем найти вероятность противоположного события $\overline{A}$:$P(\overline{A}) = \frac{N_{fav}}{N_{total}} = \frac{C_{n-m}^k}{C_n^k} = \frac{\frac{(n-m)!}{k!(n-m-k)!}}{\frac{n!}{k!(n-k)!}}$

Упростив это выражение, получаем:$P(\overline{A}) = \frac{(n-m)! \cdot k!(n-k)!}{k!(n-m-k)! \cdot n!} = \frac{(n-m)!(n-k)!}{(n-m-k)!n!}$

Наконец, найдем вероятность искомого события $A$:$P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{C_{n-m}^k}{C_n^k}$

Ответ: Вероятность выигрыша (наличия хотя бы одного выигрышного билета) равна $1 - \frac{C_{n-m}^k}{C_n^k}$. Эту формулу также можно записать как $1 - \frac{(n-m)!(n-k)!}{n!(n-m-k)!}$.