Номер 565, страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражения к главе VI. Глава 6. Элементы теории вероятностей - номер 565, страница 216.

Условие.

565. В урне находится 10 белых и 10 чёрных шаров. Из неё последовательно вынимают 2 шара и не возвращают обратно. Какова вероятность того, что:

1) оба раза извлекались шары чёрного цвета;

2) первым вынут белый шар, а вторым — чёрный;

3) вторым извлечён чёрный шар, если известно, что первым был вынут белый шар?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

В урне находятся 10 белых и 10 чёрных шаров, всего $10 + 10 = 20$ шаров. Извлечение двух шаров происходит последовательно и без возвращения, поэтому события являются зависимыми.

1) оба раза извлекались шары чёрного цвета;

Обозначим события:
$A$ – первым извлечён чёрный шар.
$B$ – вторым извлечён чёрный шар.
Нам нужно найти вероятность совместного наступления этих событий, то есть $P(A \cap B)$. По теореме умножения вероятностей для зависимых событий: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$.

Вероятность того, что первым будет вынут чёрный шар, равна: $P(A) = \frac{\text{количество чёрных шаров}}{\text{общее количество шаров}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.

После того, как вынули один чёрный шар, в урне осталось 19 шаров, из которых 9 чёрных. Вероятность вынуть вторым чёрный шар при условии, что первый уже был чёрным, равна: $P(B|A) = \frac{\text{оставшееся количество чёрных шаров}}{\text{оставшееся общее количество шаров}} = \frac{9}{19}$.

Теперь найдём искомую вероятность: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{10}{20} \cdot \frac{9}{19} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{19} = \frac{9}{38}$.

Ответ: $\frac{9}{38}$

2) первым вынут белый шар, а вторым — чёрный;

Обозначим события:
$C$ – первым извлечён белый шар.
$D$ – вторым извлечён чёрный шар.
Нам нужно найти вероятность $P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D|C)$.

Вероятность того, что первым будет вынут белый шар, равна: $P(C) = \frac{\text{количество белых шаров}}{\text{общее количество шаров}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.

После того, как вынули один белый шар, в урне осталось 19 шаров, из которых 10 по-прежнему чёрные. Вероятность вынуть вторым чёрный шар при условии, что первый был белым, равна: $P(D|C) = \frac{\text{количество чёрных шаров}}{\text{оставшееся общее количество шаров}} = \frac{10}{19}$.

Найдём искомую вероятность: $P(C \cap D) = P(C) \cdot P(D|C) = \frac{10}{20} \cdot \frac{10}{19} = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{19} = \frac{10}{38} = \frac{5}{19}$.

Ответ: $\frac{5}{19}$

3) вторым извлечён чёрный шар, если известно, что первым был вынут белый шар?

Это задача на условную вероятность. Нам нужно найти вероятность того, что второй шар – чёрный, при условии, что первый шар – белый. Обозначим события, как в пункте 2:
$C$ – первым извлечён белый шар.
$D$ – вторым извлечён чёрный шар.
Требуется найти $P(D|C)$.

Условие "известно, что первым был вынут белый шар" означает, что событие $C$ уже произошло. После этого в урне осталось 19 шаров: 9 белых и 10 чёрных.

Вероятность извлечь чёрный шар из этого нового набора шаров равна: $P(D|C) = \frac{\text{количество чёрных шаров}}{\text{новое общее количество шаров}} = \frac{10}{19}$.

Ответ: $\frac{10}{19}$