Номер 569, страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Упражения к главе VI - номер 569, страница 216.

Условие.

569. В лотерее $n$ билетов, из которых $m$ выигрышные. Найти вероятность выигрыша (наличия хотя бы одного выигрышного билета) у того, кто имеет $k$ билетов ($k \le n - m$).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной задачи определим общее число исходов и число исходов, благоприятствующих искомому событию. Проще всего найти вероятность противоположного события, а затем вычесть ее из единицы.

Пусть событие $A$ — «среди $k$ купленных билетов есть хотя бы один выигрышный».

Тогда противоположное событие $\overline{A}$ — «среди $k$ купленных билетов нет ни одного выигрышного», то есть все $k$ билетов являются проигрышными.

Вероятность события $A$ вычисляется по формуле: $P(A) = 1 - P(\overline{A})$.

Найдем вероятность события $\overline{A}$ по классической формуле вероятности: $P(\overline{A}) = \frac{N_{fav}}{N_{total}}$, где $N_{total}$ — общее число возможных исходов, а $N_{fav}$ — число исходов, благоприятствующих событию $\overline{A}$.

Общее число исходов — это количество способов выбрать $k$ билетов из общего числа $n$ билетов. Это число сочетаний из $n$ по $k$:$N_{total} = C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Число невыигрышных билетов в лотерее составляет $n - m$.Число исходов, благоприятствующих событию $\overline{A}$ (все $k$ билетов — невыигрышные), равно количеству способов выбрать $k$ билетов из $n-m$ невыигрышных. Условие $k \le n - m$ гарантирует, что такой выбор возможен. Это число сочетаний из $n-m$ по $k$:$N_{fav} = C_{n-m}^k = \frac{(n-m)!}{k!(n-m-k)!}$

Теперь мы можем найти вероятность противоположного события $\overline{A}$:$P(\overline{A}) = \frac{N_{fav}}{N_{total}} = \frac{C_{n-m}^k}{C_n^k} = \frac{\frac{(n-m)!}{k!(n-m-k)!}}{\frac{n!}{k!(n-k)!}}$

Упростив это выражение, получаем:$P(\overline{A}) = \frac{(n-m)! \cdot k!(n-k)!}{k!(n-m-k)! \cdot n!} = \frac{(n-m)!(n-k)!}{(n-m-k)!n!}$

Наконец, найдем вероятность искомого события $A$:$P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac{C_{n-m}^k}{C_n^k}$

Ответ: Вероятность выигрыша (наличия хотя бы одного выигрышного билета) равна $1 - \frac{C_{n-m}^k}{C_n^k}$. Эту формулу также можно записать как $1 - \frac{(n-m)!(n-k)!}{n!(n-m-k)!}$.