Номер 570, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражения к главе VI. Глава 6. Элементы теории вероятностей - номер 570, страница 217.

Условие.

570. Владелец одной карточки лотереи Спортлото (6 из 49) зачёркивает 6 номеров. Найти вероятность того, что им будут угаданы выигрышные:

1) все 6 номеров;

2) только 5 номеров?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности $P(A) = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

В лотерее «6 из 49» участник выбирает 6 номеров из 49. Порядок выбора номеров не имеет значения, поэтому общее число всех возможных комбинаций выбора 6 номеров из 49 равно числу сочетаний из 49 по 6.

Вычислим общее число исходов $N$ по формуле числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$N = C_{49}^6 = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Проведем сокращения для упрощения вычислений:

$N = 49 \cdot (\frac{48}{6 \cdot 4 \cdot 2}) \cdot 47 \cdot 46 \cdot (\frac{45}{5 \cdot 3}) \cdot 44 = 49 \cdot 1 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 3 \cdot 44 = 13\;983\;816$

Таким образом, существует $13\;983\;816$ различных способов выбрать 6 номеров из 49.

1) все 6 номеров

Найдем вероятность угадать все 6 выигрышных номеров. Существует только одна выигрышная комбинация из 6 номеров. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m_1 = 1$.

Вероятность $P_1$ угадать все 6 номеров равна:

$P_1 = \frac{m_1}{N} = \frac{1}{13\;983\;816}$

Ответ: $P_1 = \frac{1}{13\;983\;816}$.

2) только 5 номеров

Найдем вероятность угадать ровно 5 выигрышных номеров. Это означает, что из 6 номеров, выбранных игроком, 5 должны оказаться в числе 6 выигрышных, а 1 номер — в числе $49 - 6 = 43$ невыигрышных номеров.

Число способов выбрать 5 выигрышных номеров из 6 существующих равно $C_6^5$.

$C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5!1!} = 6$

Число способов выбрать 1 невыигрышный номер из 43 существующих равно $C_{43}^1$.

$C_{43}^1 = \frac{43!}{1!(43-1)!} = \frac{43!}{1!42!} = 43$

Согласно комбинаторному правилу произведения, общее число благоприятствующих исходов $m_2$ (когда угадано ровно 5 номеров) равно произведению этих двух величин:

$m_2 = C_6^5 \cdot C_{43}^1 = 6 \cdot 43 = 258$

Вероятность $P_2$ угадать ровно 5 номеров равна:

$P_2 = \frac{m_2}{N} = \frac{258}{13\;983\;816}$

Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 6:

$P_2 = \frac{258 \div 6}{13\;983\;816 \div 6} = \frac{43}{2\;330\;636}$

Ответ: $P_2 = \frac{258}{13\;983\;816} = \frac{43}{2\;330\;636}$.