Номер 577, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражения к главе VI. Глава 6. Элементы теории вероятностей - номер 577, страница 217.

Условие.

577. Монету бросают 8 раз. Какова вероятность того, что орёл появится:

1) ровно 2 раза;

2) ровно 6 раз;

3) не менее 6 раз;

4) не более 2 раз?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной задачи мы будем использовать схему испытаний Бернулли. В нашем случае проводится $n=8$ независимых испытаний (бросков монеты). Вероятность "успеха" (выпадения орла) в каждом испытании равна $p = \frac{1}{2}$, а вероятность "неудачи" (выпадения решки) — $q = 1-p = \frac{1}{2}$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний (биномиальный коэффициент).

Поскольку $p=q=\frac{1}{2}$, формула для нашей задачи упрощается:

$P_8(k) = C_8^k \cdot (\frac{1}{2})^k \cdot (\frac{1}{2})^{8-k} = C_8^k \cdot (\frac{1}{2})^8 = \frac{C_8^k}{256}$

Здесь $2^8 = 256$ — это общее число всех возможных элементарных исходов при 8 бросках монеты.

1) ровно 2 раза;

Требуется найти вероятность того, что орёл выпадет ровно $k=2$ раза. Сначала найдём число благоприятных исходов — это количество способов выбрать 2 "орла" из 8 бросков, которое равно числу сочетаний $C_8^2$.

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$

Теперь найдём вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов:

$P_8(2) = \frac{C_8^2}{2^8} = \frac{28}{256}$

Сократим полученную дробь на 4:

$P_8(2) = \frac{28 \div 4}{256 \div 4} = \frac{7}{64}$

Ответ: $\frac{7}{64}$

2) ровно 6 раз;

Найдём вероятность того, что орёл выпадет ровно $k=6$ раз. Число благоприятных исходов равно $C_8^6$.

$C_8^6 = \frac{8!}{6!(8-6)!} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$

Вероятность этого события:

$P_8(6) = \frac{C_8^6}{2^8} = \frac{28}{256} = \frac{7}{64}$

Ответ: $\frac{7}{64}$

3) не менее 6 раз;

Событие "орёл появится не менее 6 раз" означает, что орёл выпадет 6, 7 или 8 раз. Вероятность этого сложного события равна сумме вероятностей несовместных событий: выпало 6 орлов, выпало 7 орлов, выпало 8 орлов.

$P(k \ge 6) = P_8(6) + P_8(7) + P_8(8)$

Вероятность $P_8(6)$ мы уже нашли: $P_8(6) = \frac{28}{256}$.

Вычислим остальные вероятности:

Для $k=7$: $C_8^7 = \frac{8!}{7!1!} = 8$. Тогда $P_8(7) = \frac{8}{256}$.

Для $k=8$: $C_8^8 = \frac{8!}{8!0!} = 1$. Тогда $P_8(8) = \frac{1}{256}$.

Теперь сложим все вероятности:

$P(k \ge 6) = \frac{28}{256} + \frac{8}{256} + \frac{1}{256} = \frac{28+8+1}{256} = \frac{37}{256}$

Ответ: $\frac{37}{256}$

4) не более 2 раз?

Событие "орёл появится не более 2 раз" означает, что орёл выпадет 0, 1 или 2 раза. Вероятность этого события равна сумме вероятностей:

$P(k \le 2) = P_8(0) + P_8(1) + P_8(2)$

Вероятность $P_8(2)$ мы уже знаем: $P_8(2) = \frac{28}{256}$.

Вычислим остальные вероятности:

Для $k=0$ (0 орлов, т.е. все 8 решек): $C_8^0 = 1$. Тогда $P_8(0) = \frac{1}{256}$.

Для $k=1$: $C_8^1 = \frac{8!}{1!7!} = 8$. Тогда $P_8(1) = \frac{8}{256}$.

Теперь сложим все вероятности:

$P(k \le 2) = \frac{1}{256} + \frac{8}{256} + \frac{28}{256} = \frac{1+8+28}{256} = \frac{37}{256}$

Ответ: $\frac{37}{256}$