Номер 579, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Упражения к главе VI - номер 579, страница 217.

Условие.

579. Вероятность того, что насекомое определённого вида будет жить более 100 дней, равна 0,5. Какова вероятность того, что среди выбранных для наблюдения 10 насекомых этого вида не менее 8 экземпляров будут жить более 100 дней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Это задача на использование формулы Бернулли, которая применяется для серии независимых испытаний с двумя возможными исходами.

Введем следующие обозначения:

Событие «успеха» — насекомое живет более 100 дней. Вероятность этого события по условию равна $p = 0.5$.

Событие «неудачи» — насекомое живет 100 дней или меньше. Вероятность этого события равна $q = 1 - p = 1 - 0.5 = 0.5$.

Общее количество испытаний (выбранных для наблюдения насекомых) равно $n = 10$.

Нам необходимо найти вероятность того, что «не менее 8» насекомых проживут более 100 дней. Это означает, что число «успешных» исходов $k$ может быть равно 8, 9 или 10. Искомая вероятность $P$ является суммой вероятностей этих трех взаимоисключающих событий:

$P(\text{не менее 8}) = P(k=8) + P(k=9) + P(k=10)$

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент (число сочетаний).

Рассчитаем каждую вероятность отдельно.

1. Вероятность того, что ровно 8 насекомых проживут более 100 дней ($k=8$):

$P_{10}(8) = C_{10}^8 \cdot (0.5)^8 \cdot (0.5)^{10-8} = C_{10}^8 \cdot (0.5)^{10}$

$C_{10}^8 = \frac{10!}{8! \cdot (10-8)!} = \frac{10!}{8! \cdot 2!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$

Таким образом, $P_{10}(8) = 45 \cdot (0.5)^{10}$.

2. Вероятность того, что ровно 9 насекомых проживут более 100 дней ($k=9$):

$P_{10}(9) = C_{10}^9 \cdot (0.5)^9 \cdot (0.5)^{10-9} = C_{10}^9 \cdot (0.5)^{10}$

$C_{10}^9 = \frac{10!}{9! \cdot (10-9)!} = \frac{10!}{9! \cdot 1!} = 10$

Таким образом, $P_{10}(9) = 10 \cdot (0.5)^{10}$.

3. Вероятность того, что ровно 10 насекомых проживут более 100 дней ($k=10$):

$P_{10}(10) = C_{10}^{10} \cdot (0.5)^{10} \cdot (0.5)^{10-10} = C_{10}^{10} \cdot (0.5)^{10}$

$C_{10}^{10} = \frac{10!}{10! \cdot (10-10)!} = \frac{10!}{10! \cdot 0!} = 1$

Таким образом, $P_{10}(10) = 1 \cdot (0.5)^{10}$.

4. Суммарная вероятность:

Теперь сложим полученные вероятности:

$P = P_{10}(8) + P_{10}(9) + P_{10}(10) = 45 \cdot (0.5)^{10} + 10 \cdot (0.5)^{10} + 1 \cdot (0.5)^{10}$

$P = (45 + 10 + 1) \cdot (0.5)^{10} = 56 \cdot (0.5)^{10}$

Вычислим значение $(0.5)^{10}$:

$(0.5)^{10} = (\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024}$

Подставим это значение в выражение для $P$:

$P = 56 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{56}{1024}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 56 и 1024 равен 8:

$P = \frac{56 \div 8}{1024 \div 8} = \frac{7}{128}$

В виде десятичной дроби это значение равно $0.0546875$.

Ответ: $\frac{7}{128}$.