Номер 573, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражения к главе VI. Глава 6. Элементы теории вероятностей - номер 573, страница 217.

Условие.

573. По данным технического контроля 2% изготовленных автомобильных двигателей нуждаются в дополнительной регулировке. Найти вероятность $P$ того, что из пяти купленных оптовиком двигателей нуждаются в дополнительной регулировке:

1) два; 2) не более двух.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность получения $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях. Формула имеет вид:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

В данной задаче:

• $n = 5$ — количество испытаний (купленных двигателей).
• $p = 0.02$ — вероятность «успеха», то есть того, что двигатель нуждается в регулировке (2%).
• $q = 1 - p = 1 - 0.02 = 0.98$ — вероятность «неудачи», то есть того, что двигатель в регулировке не нуждается.
• $k$ — количество двигателей, нуждающихся в регулировке.

1) два

Требуется найти вероятность $P$ того, что ровно два двигателя из пяти нуждаются в регулировке. В этом случае $k=2$.

Подставим значения в формулу Бернулли:

$P_5(2) = C_5^2 \cdot (0.02)^2 \cdot (0.98)^{5-2} = C_5^2 \cdot (0.02)^2 \cdot (0.98)^3$

Вычислим число сочетаний $C_5^2$:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10$

Теперь вычислим саму вероятность:

$P_5(2) = 10 \cdot (0.02)^2 \cdot (0.98)^3 = 10 \cdot 0.0004 \cdot 0.941192 = 0.003764768$

Округляя, получаем $P \approx 0.00376$.

Ответ: $P \approx 0.00376$

2) не более двух

Событие «не более двух двигателей нуждаются в регулировке» означает, что таких двигателей может быть 0, 1 или 2. Вероятность $P$ этого события равна сумме вероятностей каждого из этих несовместных исходов:

$P(k \le 2) = P_5(0) + P_5(1) + P_5(2)$

Вероятность $P_5(2)$ уже вычислена в предыдущем пункте: $P_5(2) \approx 0.003764768$.

Вычислим $P_5(0)$ (ни один двигатель не требует регулировки, $k=0$):

$P_5(0) = C_5^0 \cdot (0.02)^0 \cdot (0.98)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (0.98)^5 = 0.9039207968$

Вычислим $P_5(1)$ (ровно один двигатель требует регулировки, $k=1$):

$P_5(1) = C_5^1 \cdot (0.02)^1 \cdot (0.98)^4 = 5 \cdot 0.02 \cdot (0.98)^4 = 0.1 \cdot 0.92236816 = 0.092236816$

Теперь просуммируем полученные вероятности:

$P(k \le 2) = 0.9039207968 + 0.092236816 + 0.003764768 = 0.9999223808$

Округляя, получаем $P \approx 0.99992$.

Ответ: $P \approx 0.99992$