Номер 567, страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражения к главе VI. Глава 6. Элементы теории вероятностей - номер 567, страница 216.

Условие.

567. Из полного набора костей домино берутся наугад две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи по теории вероятностей, определим общее число исходов и число благоприятных исходов. Процесс состоит из двух шагов: выбор первой кости и выбор второй кости.

1. Характеристики набора домино

Стандартный набор домино включает кости, где каждая половинка имеет от 0 до 6 точек. Кость можно представить как пару чисел $(a, b)$, где $0 \le a \le b \le 6$.

Общее количество костей в наборе составляет 28. Это можно рассчитать как число сочетаний с повторениями из 7 элементов (числа от 0 до 6) по 2:

$N = C_{7+2-1}^{2} = C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$.

Кости домино делятся на два типа:

• Дубли: кости с одинаковыми числами на половинках, вида $(a, a)$. Всего их 7: (0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6).
• Не-дубли: кости с разными числами, вида $(a, b)$ где $a \neq b$. Их $28 - 7 = 21$.

2. Условие составления цепи

Вторую кость можно приставить к первой, если у них есть общее число. Например, к кости $(a, b)$ можно приставить кость $(c, d)$, если хотя бы одно из чисел первой кости совпадает с одним из чисел второй.

3. Расчет вероятности

Для нахождения искомой вероятности воспользуемся формулой полной вероятности. Вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой, зависит от типа первой вытянутой кости.

Пусть $A$ — событие, состоящее в том, что вторую кость можно приставить к первой.

Рассмотрим две возможные гипотезы относительно первой кости:

• $H_1$ — первая вытянутая кость является дублем.
• $H_2$ — первая вытянутая кость не является дублем.

Вероятности этих гипотез равны:

$P(H_1) = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$

$P(H_2) = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$

Теперь вычислим условные вероятности события $A$ для каждой гипотезы. После выбора первой кости в наборе остается 27 костей.

Случай 1: Первая кость — дубль (гипотеза $H_1$).

Пусть это кость $(k, k)$. Чтобы вторую кость можно было к ней приставить, она должна содержать число $k$. В полном наборе существует 7 костей с числом $k$: $(k,0), (k,1), \dots, (k,6)$. Поскольку одна из них — $(k,k)$ — уже выбрана, в наборе остается $7 - 1 = 6$ подходящих костей.

Условная вероятность в этом случае:

$P(A|H_1) = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$.

Случай 2: Первая кость — не-дубль (гипотеза $H_2$).

Пусть это кость $(k, m)$, где $k \neq m$. Вторая кость должна содержать либо число $k$, либо число $m$.

Количество костей с числом $k$ в полном наборе — 7. Количество костей с числом $m$ — также 7. Кость $(k,m)$ входит в обе группы, поэтому общее число костей, содержащих $k$ или $m$, равно $7 + 7 - 1 = 13$.

Так как кость $(k,m)$ уже выбрана, в наборе остается $13 - 1 = 12$ подходящих костей.

Условная вероятность в этом случае:

$P(A|H_2) = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$.

Итоговая вероятность

По формуле полной вероятности, полная вероятность события $A$ равна:

$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)$

$P(A) = \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{27} + \frac{3}{4} \cdot \frac{12}{27} = \frac{6}{108} + \frac{36}{108} = \frac{42}{108}$

Сокращая полученную дробь, находим ответ:

$P(A) = \frac{42}{108} = \frac{21}{54} = \frac{7}{18}$.

Ответ: $\frac{7}{18}$