Номер 564, страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Упражения к главе VI - номер 564, страница 216.

Условие.

564. Из колоды в 36 карт последовательно наугад вынимают две карты и не возвращают обратно. Найти вероятность того, что:

1) вынуты два туза;

2) сначала извлечён туз, а затем дама;

3) вынуты 2 карты бубновой масти;

4) вторым извлечён туз, если известно, что первой была вынута дама.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

В колоде 36 карт. Карты вынимают последовательно и не возвращают обратно. Это означает, что после извлечения первой карты в колоде остается 35 карт, а после второй — 34.

1) вынуты два туза

Это составное событие, состоящее из двух последовательных зависимых событий: A - первая вынутая карта является тузом, и B - вторая вынутая карта также является тузом. Вероятность этого события находится по формуле умножения вероятностей зависимых событий: $P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B|A)$.
В колоде из 36 карт 4 туза. Вероятность вынуть первого туза (событие A) равна:
$P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$
После того как был вынут один туз, в колоде осталось 35 карт, из которых 3 туза. Вероятность вынуть второй туз при условии, что первый уже был вынут (событие B|A), равна:
$P(B|A) = \frac{3}{35}$
Теперь найдем вероятность того, что обе карты — тузы:
$P(\text{оба туза}) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{4}{36} \cdot \frac{3}{35} = \frac{12}{1260} = \frac{1}{105}$
Ответ: $\frac{1}{105}$

2) сначала извлечён туз, а затем дама

Это также составное событие. Пусть событие A - первая карта туз, а событие D - вторая карта дама.
В колоде 36 карт, из них 4 туза и 4 дамы.
Вероятность вынуть туза первой картой:
$P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$
После того как вынут туз, в колоде осталось 35 карт. Количество дам не изменилось — их по-прежнему 4. Вероятность вынуть даму второй картой при условии, что первая была тузом (событие D|A), равна:
$P(D|A) = \frac{4}{35}$
Вероятность вынуть сначала туза, а потом даму:
$P(A \text{ и } D) = P(A) \cdot P(D|A) = \frac{4}{36} \cdot \frac{4}{35} = \frac{16}{1260} = \frac{4}{315}$
Ответ: $\frac{4}{315}$

3) вынуты 2 карты бубновой масти

В колоде из 36 карт 4 масти, значит карт каждой масти по $36 / 4 = 9$. В частности, в колоде 9 карт бубновой масти.
Пусть событие D1 - первая карта бубновая, а D2 - вторая карта бубновая.
Вероятность вынуть первую карту бубновой масти:
$P(D1) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$
После этого в колоде остается 35 карт, из которых 8 карт бубновой масти. Вероятность вынуть вторую бубновую карту:
$P(D2|D1) = \frac{8}{35}$
Искомая вероятность:
$P(D1 \text{ и } D2) = P(D1) \cdot P(D2|D1) = \frac{9}{36} \cdot \frac{8}{35} = \frac{72}{1260} = \frac{2}{35}$
Ответ: $\frac{2}{35}$

4) вторым извлечён туз, если известно, что первой была вынута дама

Это задача на условную вероятность. Событие "первой была вынута дама" уже произошло. Это наше условие.
После того как из колоды в 36 карт вынули одну даму, в ней осталось $36 - 1 = 35$ карт.
Так как первая карта была дамой, все 4 туза остались в колоде.
Таким образом, вероятность вынуть туз из оставшихся 35 карт равна:
$P(\text{второй туз | первая дама}) = \frac{\text{количество тузов}}{\text{оставшееся количество карт}} = \frac{4}{35}$
Ответ: $\frac{4}{35}$