Номер 563, страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражения к главе VI. Глава 6. Элементы теории вероятностей - номер 563, страница 216.

Условие.

563. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что 3 очка появятся хотя бы на одной из костей.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи по теории вероятностей мы используем классическое определение вероятности: вероятность события равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу всех равновозможных исходов. Формула имеет вид: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число исходов, а $m$ — число благоприятных исходов.

Сначала определим общее число всех возможных исходов при броске двух игральных костей. У каждой кости 6 граней, поэтому при броске двух костей общее число различных комбинаций $n$ будет равно произведению числа исходов для каждой кости:

$n = 6 \times 6 = 36$

Далее нам нужно найти число благоприятных исходов $m$ для события A: «3 очка появятся хотя бы на одной из костей». Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование противоположного события

Проще найти вероятность противоположного события $\bar{A}$, которое заключается в том, что «тройка не появится ни на одной из костей». Затем, чтобы найти вероятность исходного события $A$, мы вычтем вероятность $\bar{A}$ из единицы.

Для того чтобы на одной кости не выпала тройка, есть 5 возможных исходов (1, 2, 4, 5, 6). Так как кости две, и события независимы, число исходов, при которых тройка не выпадет ни на одной из них, равно:

$m(\bar{A}) = 5 \times 5 = 25$

Вероятность противоположного события $P(\bar{A})$ составляет:

$P(\bar{A}) = \frac{m(\bar{A})}{n} = \frac{25}{36}$

Теперь найдем искомую вероятность события $A$:

$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{36}{36} - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

Способ 2: Прямой подсчет благоприятных исходов

Мы можем перечислить все комбинации, в которых есть хотя бы одна тройка. Пусть (x, y) — пара чисел, выпавших на первой и второй кости соответственно.

Исходы, где на первой кости выпала тройка: (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6). Всего 6 исходов.

Исходы, где на второй кости выпала тройка: (1, 3), (2, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3). Здесь 5 исходов, так как исход (3, 3) уже был учтен в первой группе, чтобы не считать его дважды.

Таким образом, общее число благоприятных исходов $m$ равно сумме исходов из этих двух групп:

$m = 6 + 5 = 11$

Тогда искомая вероятность равна:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{11}{36}$

Оба метода дают одинаковый результат.

Ответ: $ \frac{11}{36} $