Номер 568, страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражения к главе VI. Глава 6. Элементы теории вероятностей - номер 568, страница 216.

Условие.

568. В лотерее из 100 билетов 10 выигрышных. Какова вероятность того, что ни на один из трёх купленных билетов не выпадет выигрыш?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи определим общее количество билетов и количество выигрышных и проигрышных билетов.

Всего билетов: $N = 100$.

Выигрышных билетов: $K = 10$.

Следовательно, проигрышных билетов: $M = N - K = 100 - 10 = 90$.

Нам нужно найти вероятность того, что все три купленных билета окажутся проигрышными. Это задача на нахождение вероятности последовательных зависимых событий, так как каждый купленный билет уменьшает общее количество оставшихся билетов.

Рассчитаем вероятность последовательно для каждого билета.

1. Вероятность того, что первый купленный билет будет проигрышным.
Изначально имеется 90 проигрышных билетов из 100. Вероятность этого события $P_1$ равна:

$P_1 = \frac{90}{100}$

2. Вероятность того, что второй купленный билет тоже будет проигрышным, при условии, что первый уже был проигрышным.
После покупки одного проигрышного билета осталось 99 билетов, из которых 89 — проигрышные. Вероятность этого события $P_2$ равна:

$P_2 = \frac{89}{99}$

3. Вероятность того, что и третий купленный билет будет проигрышным, при условии, что первые два были проигрышными.
После покупки двух проигрышных билетов осталось 98 билетов, из которых 88 — проигрышные. Вероятность этого события $P_3$ равна:

$P_3 = \frac{88}{98}$

Чтобы найти общую вероятность того, что все три события произойдут вместе, нужно перемножить вероятности этих событий:

$P = P_1 \times P_2 \times P_3 = \frac{90}{100} \times \frac{89}{99} \times \frac{88}{98}$

Теперь упростим полученное выражение:

$P = \frac{90 \times 89 \times 88}{100 \times 99 \times 98} = \frac{9 \times 10 \times 89 \times 8 \times 11}{10 \times 10 \times 9 \times 11 \times 98}$

Сокращаем общие множители (9, 10, 11):

$P = \frac{89 \times 8}{10 \times 98}$

Сокращаем на 2:

$P = \frac{89 \times 4}{5 \times 98}$

Еще раз сокращаем на 2:

$P = \frac{89 \times 2}{5 \times 49} = \frac{178}{245}$

Можно также представить ответ в виде десятичной дроби:

$P = \frac{178}{245} \approx 0.7265$

Ответ: $\frac{178}{245}$