Номер 571, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Упражения к главе VI - номер 571, страница 217.

Условие.

571. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превосходящая заданную точность, равна 0,1. Произведены три независимых измерения этой физической величины. Найти вероятность того, что не более чем в одном измерении допущенная ошибка превысит заданную точность.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной задачи мы используем схему испытаний Бернулли. Каждое из трех независимых измерений является отдельным испытанием.

Определим следующие параметры:

• Событие, которое мы будем считать "успехом" — это допущение ошибки, превосходящей заданную точность, при одном измерении.
• Вероятность "успеха" в одном испытании, согласно условию, составляет $p = 0,1$.
• Вероятность "неудачи" (ошибка не превосходит заданную точность) — это противоположное событие, его вероятность равна $q = 1 - p = 1 - 0,1 = 0,9$.
• Общее количество испытаний (измерений) — $n = 3$.

Нам необходимо найти вероятность того, что ошибка превысит заданную точность "не более чем в одном измерении". Это означает, что количество "успехов" $k$ может быть равно 0 или 1. Искомая вероятность $P(k \le 1)$ — это сумма вероятностей двух несовместных событий:

1. Вероятность того, что ошибка не будет допущена ни в одном из трех измерений ($k=0$).
2. Вероятность того, что ошибка будет допущена ровно в одном из трех измерений ($k=1$).

Для расчета этих вероятностей применяется формула Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

Рассчитаем вероятность для случая $k=0$ (ни одной ошибки, превосходящей точность):

$P_3(0) = C_3^0 \cdot (0,1)^0 \cdot (0,9)^{3-0} = \frac{3!}{0!(3-0)!} \cdot 1 \cdot (0,9)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0,729 = 0,729$.

Рассчитаем вероятность для случая $k=1$ (ровно одна ошибка, превосходящая точность):

$P_3(1) = C_3^1 \cdot (0,1)^1 \cdot (0,9)^{3-1} = \frac{3!}{1!(3-1)!} \cdot 0,1 \cdot (0,9)^2 = 3 \cdot 0,1 \cdot 0,81 = 0,243$.

Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих двух событий:

$P(k \le 1) = P_3(0) + P_3(1) = 0,729 + 0,243 = 0,972$.

Ответ: 0,972.