Номер 576, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражения к главе VI. Глава 6. Элементы теории вероятностей - номер 576, страница 217.

Условие.

576. В розыгрыше первенства страны по волейболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников первенства имеются 5 команд из одной республики. Найти вероятность того, что все 5 команд этой республики попадут в одну и ту же группу.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Всего имеется 18 команд, которые случайным образом делятся на две группы по 9 команд. Найдем общее число способов сформировать первую группу. Порядок команд в группе не важен, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний. Число способов выбрать 9 команд из 18 равно:

$N = C_{18}^9 = \frac{18!}{9!(18-9)!} = \frac{18!}{9!9!} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}$

После сокращения дроби получаем:

$N = 11 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 17 \cdot 3 \cdot 2 = 48620$

Таким образом, существует 48620 способов сформировать первую группу из 9 команд (вторая группа при этом формируется автоматически из оставшихся 9 команд).

Теперь найдем число благоприятных исходов. Нас интересует событие, при котором все 5 команд из одной республики окажутся в одной группе. Это может произойти в двух случаях:

1. Все 5 команд попали в первую группу.

2. Все 5 команд попали во вторую группу.

Рассмотрим первый случай. Если все 5 команд из республики находятся в первой группе, то для ее полного формирования нужно добрать еще $9 - 5 = 4$ команды. Эти 4 команды выбираются из оставшихся $18 - 5 = 13$ команд. Число способов сделать это равно:

$M_1 = C_5^5 \cdot C_{13}^4 = 1 \cdot \frac{13!}{4!(13-4)!} = \frac{13!}{4!9!} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 10 \cdot 11 \cdot \frac{1}{2} \cdot 13 = 715$

Рассмотрим второй случай. Если все 5 команд из республики попали во вторую группу, это означает, что первая группа полностью (все 9 мест) сформирована из оставшихся $18 - 5 = 13$ команд. Число способов сделать это равно:

$M_2 = C_{13}^9 = \frac{13!}{9!(13-9)!} = \frac{13!}{9!4!} = C_{13}^4 = 715$

Поскольку эти два случая являются взаимоисключающими, общее число благоприятных исходов равно сумме исходов для каждого случая:

$M = M_1 + M_2 = 715 + 715 = 1430$

Теперь мы можем найти искомую вероятность:

$P = \frac{M}{N} = \frac{1430}{48620} = \frac{143}{4862}$

Сократим полученную дробь. Заметим, что $143 = 11 \cdot 13$. Проверим, делится ли знаменатель на 143: $4862 \div 143 = 34$.

$P = \frac{143}{143 \cdot 34} = \frac{1}{34}$

Ответ: $\frac{1}{34}$