Номер 574, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражения к главе VI. Глава 6. Элементы теории вероятностей - номер 574, страница 217.

Условие.

574. В партии из $m$ деталей $n$ бракованных. Выбирают наугад $k$ деталей. Определить вероятность того, что среди этих $k$ деталей будет $p$ бракованных ($p \le k \le n \le m$).

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данная задача решается с помощью классического определения вероятности и формул комбинаторики. Вероятность события $A$ определяется как отношение числа благоприятных исходов $N(A)$ к общему числу равновозможных исходов $N$:

$P(A) = \frac{N(A)}{N}$

В задаче даны следующие параметры:

• $m$ — общее количество деталей в партии.
• $n$ — количество бракованных деталей в партии.
• $m - n$ — количество небракованных (стандартных) деталей.
• $k$ — количество деталей, выбираемых из партии наугад.
• $p$ — количество бракованных деталей, которое должно оказаться в выборке.
• $k - p$ — количество небракованных деталей в выборке.

1. Определение общего числа исходов (N)

Общее число исходов — это количество всех возможных способов выбрать $k$ деталей из $m$ имеющихся. Поскольку порядок выбора деталей не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний:

$N = C_m^k = \frac{m!}{k!(m-k)!}$

2. Определение числа благоприятных исходов (N(A))

Благоприятный исход — это выборка, в которой содержится ровно $p$ бракованных деталей и $k-p$ небракованных. Для подсчета таких исходов мы должны использовать правило произведения в комбинаторике:

а) Выбрать $p$ бракованных деталей из $n$ имеющихся можно $C_n^p$ способами:

$C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$

б) Выбрать $k-p$ небракованных деталей из $m-n$ имеющихся можно $C_{m-n}^{k-p}$ способами:

$C_{m-n}^{k-p} = \frac{(m-n)!}{(k-p)!(m-n-(k-p))!}$

Общее число благоприятных исходов равно произведению этих двух величин:

$N(A) = C_n^p \cdot C_{m-n}^{k-p}$

3. Вычисление вероятности

Теперь мы можем найти искомую вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов:

$P = \frac{N(A)}{N} = \frac{C_n^p \cdot C_{m-n}^{k-p}}{C_m^k}$

Эта формула известна как формула гипергеометрического распределения вероятностей. Она применима при выполнении условий: $p \le n$, $k-p \le m-n$, $k \le m$.

Ответ: Вероятность того, что среди $k$ выбранных деталей будет ровно $p$ бракованных, равна $P = \frac{C_n^p \cdot C_{m-n}^{k-p}}{C_m^k}$.