Номер 575, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражения к главе VI. Глава 6. Элементы теории вероятностей - номер 575, страница 217.

Условие.

575. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две пачки по 26 листов в каждой. Найти вероятность того, что в каждой пачке окажется по два туза.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В полной колоде 52 карты, из них 4 туза и 48 других карт (не тузов). Колода делится наугад на две пачки по 26 карт.

1. Найдем общее число способов разделить колоду на две пачки по 26 карт. Это эквивалентно числу способов выбрать 26 карт для первой пачки из 52. Порядок карт в пачке не важен, поэтому используем формулу сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число исходов $N$ равно числу способов выбрать 26 карт из 52:
$N = C_{52}^{26} = \frac{52!}{26! \cdot (52-26)!} = \frac{52!}{26! \cdot 26!}$

2. Теперь найдем число благоприятных исходов $M$. Благоприятный исход — это когда в каждой пачке по два туза. Рассмотрим одну (любую) пачку. Чтобы в ней было 2 туза, необходимо, чтобы в ее состав вошли:

• 2 туза из 4 имеющихся тузов. Число способов это сделать: $C_{4}^{2}$.
• Остальные $26 - 2 = 24$ карты из 48 карт, не являющихся тузами. Число способов это сделать: $C_{48}^{24}$.

По правилу произведения в комбинаторике, число способов составить первую пачку с двумя тузами равно:
$M = C_{4}^{2} \cdot C_{48}^{24}$
Если в первой пачке оказалось 2 туза и 24 не-туза, то во второй пачке автоматически останутся остальные $4-2=2$ туза и $48-24=24$ не-туза. Таким образом, условие задачи будет выполнено для обеих пачек.

Рассчитаем значение $C_{4}^{2}$:
$C_{4}^{2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$

3. Найдем искомую вероятность $P$:
$P = \frac{M}{N} = \frac{C_{4}^{2} \cdot C_{48}^{24}}{C_{52}^{26}} = \frac{6 \cdot \frac{48!}{24! \cdot 24!}}{\frac{52!}{26! \cdot 26!}}$

Упростим это выражение, раскрыв факториалы:
$P = 6 \cdot \frac{48!}{24! \cdot 24!} \cdot \frac{26! \cdot 26!}{52!} = 6 \cdot \frac{48! \cdot (26 \cdot 25 \cdot 24!) \cdot (26 \cdot 25 \cdot 24!)}{24! \cdot 24! \cdot (52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48!)}$
Сократив одинаковые множители и факториалы, получим:
$P = 6 \cdot \frac{26 \cdot 25 \cdot 26 \cdot 25}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49}$
Теперь сократим полученную дробь:
$P = 6 \cdot \frac{26}{52} \cdot \frac{25}{50} \cdot \frac{26}{51} \cdot \frac{25}{49} = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{26}{51} \cdot \frac{25}{49} = \frac{6}{4} \cdot \frac{26}{51} \cdot \frac{25}{49} = \frac{3}{2} \cdot \frac{26}{51} \cdot \frac{25}{49}$
$P = 3 \cdot \frac{13}{51} \cdot \frac{25}{49} = \frac{3 \cdot 13}{3 \cdot 17} \cdot \frac{25}{49} = \frac{13}{17} \cdot \frac{25}{49} = \frac{325}{833}$

Ответ: $\frac{325}{833}$