Страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

570. Владелец одной карточки лотереи Спортлото (6 из 49) зачёркивает 6 номеров. Найти вероятность того, что им будут угаданы выигрышные:

1) все 6 номеров;

2) только 5 номеров?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности $P(A) = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

В лотерее «6 из 49» участник выбирает 6 номеров из 49. Порядок выбора номеров не имеет значения, поэтому общее число всех возможных комбинаций выбора 6 номеров из 49 равно числу сочетаний из 49 по 6.

Вычислим общее число исходов $N$ по формуле числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$N = C_{49}^6 = \frac{49!}{6!(49-6)!} = \frac{49!}{6!43!} = \frac{49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Проведем сокращения для упрощения вычислений:

$N = 49 \cdot (\frac{48}{6 \cdot 4 \cdot 2}) \cdot 47 \cdot 46 \cdot (\frac{45}{5 \cdot 3}) \cdot 44 = 49 \cdot 1 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 3 \cdot 44 = 13\;983\;816$

Таким образом, существует $13\;983\;816$ различных способов выбрать 6 номеров из 49.

1) все 6 номеров

Найдем вероятность угадать все 6 выигрышных номеров. Существует только одна выигрышная комбинация из 6 номеров. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m_1 = 1$.

Вероятность $P_1$ угадать все 6 номеров равна:

$P_1 = \frac{m_1}{N} = \frac{1}{13\;983\;816}$

Ответ: $P_1 = \frac{1}{13\;983\;816}$.

2) только 5 номеров

Найдем вероятность угадать ровно 5 выигрышных номеров. Это означает, что из 6 номеров, выбранных игроком, 5 должны оказаться в числе 6 выигрышных, а 1 номер — в числе $49 - 6 = 43$ невыигрышных номеров.

Число способов выбрать 5 выигрышных номеров из 6 существующих равно $C_6^5$.

$C_6^5 = \frac{6!}{5!(6-5)!} = \frac{6!}{5!1!} = 6$

Число способов выбрать 1 невыигрышный номер из 43 существующих равно $C_{43}^1$.

$C_{43}^1 = \frac{43!}{1!(43-1)!} = \frac{43!}{1!42!} = 43$

Согласно комбинаторному правилу произведения, общее число благоприятствующих исходов $m_2$ (когда угадано ровно 5 номеров) равно произведению этих двух величин:

$m_2 = C_6^5 \cdot C_{43}^1 = 6 \cdot 43 = 258$

Вероятность $P_2$ угадать ровно 5 номеров равна:

$P_2 = \frac{m_2}{N} = \frac{258}{13\;983\;816}$

Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 6:

$P_2 = \frac{258 \div 6}{13\;983\;816 \div 6} = \frac{43}{2\;330\;636}$

Ответ: $P_2 = \frac{258}{13\;983\;816} = \frac{43}{2\;330\;636}$.

571. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка, превосходящая заданную точность, равна 0,1. Произведены три независимых измерения этой физической величины. Найти вероятность того, что не более чем в одном измерении допущенная ошибка превысит заданную точность.

Для решения данной задачи мы используем схему испытаний Бернулли. Каждое из трех независимых измерений является отдельным испытанием.

Определим следующие параметры:

• Событие, которое мы будем считать "успехом" — это допущение ошибки, превосходящей заданную точность, при одном измерении.
• Вероятность "успеха" в одном испытании, согласно условию, составляет $p = 0,1$.
• Вероятность "неудачи" (ошибка не превосходит заданную точность) — это противоположное событие, его вероятность равна $q = 1 - p = 1 - 0,1 = 0,9$.
• Общее количество испытаний (измерений) — $n = 3$.

Нам необходимо найти вероятность того, что ошибка превысит заданную точность "не более чем в одном измерении". Это означает, что количество "успехов" $k$ может быть равно 0 или 1. Искомая вероятность $P(k \le 1)$ — это сумма вероятностей двух несовместных событий:

1. Вероятность того, что ошибка не будет допущена ни в одном из трех измерений ($k=0$).
2. Вероятность того, что ошибка будет допущена ровно в одном из трех измерений ($k=1$).

Для расчета этих вероятностей применяется формула Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

Рассчитаем вероятность для случая $k=0$ (ни одной ошибки, превосходящей точность):

$P_3(0) = C_3^0 \cdot (0,1)^0 \cdot (0,9)^{3-0} = \frac{3!}{0!(3-0)!} \cdot 1 \cdot (0,9)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0,729 = 0,729$.

Рассчитаем вероятность для случая $k=1$ (ровно одна ошибка, превосходящая точность):

$P_3(1) = C_3^1 \cdot (0,1)^1 \cdot (0,9)^{3-1} = \frac{3!}{1!(3-1)!} \cdot 0,1 \cdot (0,9)^2 = 3 \cdot 0,1 \cdot 0,81 = 0,243$.

Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих двух событий:

$P(k \le 1) = P_3(0) + P_3(1) = 0,729 + 0,243 = 0,972$.

Ответ: 0,972.

572. На участке цепи последовательно соединены три прибора, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказа каждого из этих приборов соответственно равны 0,05; 0,1; 0,2. Найти вероятность того, что на этом участке ток не пойдёт.

Для решения задачи определим события и их вероятности.Пусть событие $A_1$ — отказ первого прибора, $A_2$ — отказ второго прибора, $A_3$ — отказ третьего прибора.По условию, вероятности этих событий равны:

$P(A_1) = 0,05$

$P(A_2) = 0,1$

$P(A_3) = 0,2$

Приборы соединены последовательно. В такой цепи ток не пойдёт, если выйдет из строя хотя бы один из приборов.Событие "ток не пойдёт" является противоположным (дополнительным) к событию "ток пойдёт". Проще всего сначала найти вероятность того, что ток пойдёт, а затем вычесть её из единицы.

Для того чтобы ток шёл по цепи, необходимо, чтобы все три прибора работали исправно. Обозначим события, соответствующие исправной работе приборов, как $\bar{A_1}$, $\bar{A_2}$ и $\bar{A_3}$.Вероятность того, что событие не произойдёт, равна $1$ минус вероятность того, что оно произойдёт. Таким образом, вероятности исправной работы каждого из приборов равны:

• Вероятность исправной работы первого прибора: $P(\bar{A_1}) = 1 - P(A_1) = 1 - 0,05 = 0,95$
• Вероятность исправной работы второго прибора: $P(\bar{A_2}) = 1 - P(A_2) = 1 - 0,1 = 0,9$
• Вероятность исправной работы третьего прибора: $P(\bar{A_3}) = 1 - P(A_3) = 1 - 0,2 = 0,8$

Поскольку приборы работают независимо друг от друга, вероятность того, что все три будут работать одновременно (событие "ток пойдёт"), равна произведению вероятностей их исправной работы:$P(\text{ток пойдёт}) = P(\bar{A_1} \cap \bar{A_2} \cap \bar{A_3}) = P(\bar{A_1}) \times P(\bar{A_2}) \times P(\bar{A_3})$

$P(\text{ток пойдёт}) = 0,95 \times 0,9 \times 0,8 = 0,684$

Вероятность того, что ток не пойдёт, — это вероятность противоположного события. Она вычисляется как:$P(\text{ток не пойдёт}) = 1 - P(\text{ток пойдёт})$

$P(\text{ток не пойдёт}) = 1 - 0,684 = 0,316$

Ответ: 0,316

573. По данным технического контроля 2% изготовленных автомобильных двигателей нуждаются в дополнительной регулировке. Найти вероятность $P$ того, что из пяти купленных оптовиком двигателей нуждаются в дополнительной регулировке:

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность получения $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях. Формула имеет вид:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

В данной задаче:

• $n = 5$ — количество испытаний (купленных двигателей).
• $p = 0.02$ — вероятность «успеха», то есть того, что двигатель нуждается в регулировке (2%).
• $q = 1 - p = 1 - 0.02 = 0.98$ — вероятность «неудачи», то есть того, что двигатель в регулировке не нуждается.
• $k$ — количество двигателей, нуждающихся в регулировке.

1) два

Требуется найти вероятность $P$ того, что ровно два двигателя из пяти нуждаются в регулировке. В этом случае $k=2$.

Подставим значения в формулу Бернулли:

$P_5(2) = C_5^2 \cdot (0.02)^2 \cdot (0.98)^{5-2} = C_5^2 \cdot (0.02)^2 \cdot (0.98)^3$

Вычислим число сочетаний $C_5^2$:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10$

Теперь вычислим саму вероятность:

$P_5(2) = 10 \cdot (0.02)^2 \cdot (0.98)^3 = 10 \cdot 0.0004 \cdot 0.941192 = 0.003764768$

Округляя, получаем $P \approx 0.00376$.

Ответ: $P \approx 0.00376$

2) не более двух

Событие «не более двух двигателей нуждаются в регулировке» означает, что таких двигателей может быть 0, 1 или 2. Вероятность $P$ этого события равна сумме вероятностей каждого из этих несовместных исходов:

$P(k \le 2) = P_5(0) + P_5(1) + P_5(2)$

Вероятность $P_5(2)$ уже вычислена в предыдущем пункте: $P_5(2) \approx 0.003764768$.

Вычислим $P_5(0)$ (ни один двигатель не требует регулировки, $k=0$):

$P_5(0) = C_5^0 \cdot (0.02)^0 \cdot (0.98)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (0.98)^5 = 0.9039207968$

Вычислим $P_5(1)$ (ровно один двигатель требует регулировки, $k=1$):

$P_5(1) = C_5^1 \cdot (0.02)^1 \cdot (0.98)^4 = 5 \cdot 0.02 \cdot (0.98)^4 = 0.1 \cdot 0.92236816 = 0.092236816$

Теперь просуммируем полученные вероятности:

$P(k \le 2) = 0.9039207968 + 0.092236816 + 0.003764768 = 0.9999223808$

Округляя, получаем $P \approx 0.99992$.

Ответ: $P \approx 0.99992$

574. В партии из $m$ деталей $n$ бракованных. Выбирают наугад $k$ деталей. Определить вероятность того, что среди этих $k$ деталей будет $p$ бракованных ($p \le k \le n \le m$).

Данная задача решается с помощью классического определения вероятности и формул комбинаторики. Вероятность события $A$ определяется как отношение числа благоприятных исходов $N(A)$ к общему числу равновозможных исходов $N$:

$P(A) = \frac{N(A)}{N}$

В задаче даны следующие параметры:

• $m$ — общее количество деталей в партии.
• $n$ — количество бракованных деталей в партии.
• $m - n$ — количество небракованных (стандартных) деталей.
• $k$ — количество деталей, выбираемых из партии наугад.
• $p$ — количество бракованных деталей, которое должно оказаться в выборке.
• $k - p$ — количество небракованных деталей в выборке.

1. Определение общего числа исходов (N)

Общее число исходов — это количество всех возможных способов выбрать $k$ деталей из $m$ имеющихся. Поскольку порядок выбора деталей не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний:

$N = C_m^k = \frac{m!}{k!(m-k)!}$

2. Определение числа благоприятных исходов (N(A))

Благоприятный исход — это выборка, в которой содержится ровно $p$ бракованных деталей и $k-p$ небракованных. Для подсчета таких исходов мы должны использовать правило произведения в комбинаторике:

а) Выбрать $p$ бракованных деталей из $n$ имеющихся можно $C_n^p$ способами:

$C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$

б) Выбрать $k-p$ небракованных деталей из $m-n$ имеющихся можно $C_{m-n}^{k-p}$ способами:

$C_{m-n}^{k-p} = \frac{(m-n)!}{(k-p)!(m-n-(k-p))!}$

Общее число благоприятных исходов равно произведению этих двух величин:

$N(A) = C_n^p \cdot C_{m-n}^{k-p}$

3. Вычисление вероятности

Теперь мы можем найти искомую вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов:

$P = \frac{N(A)}{N} = \frac{C_n^p \cdot C_{m-n}^{k-p}}{C_m^k}$

Эта формула известна как формула гипергеометрического распределения вероятностей. Она применима при выполнении условий: $p \le n$, $k-p \le m-n$, $k \le m$.

Ответ: Вероятность того, что среди $k$ выбранных деталей будет ровно $p$ бракованных, равна $P = \frac{C_n^p \cdot C_{m-n}^{k-p}}{C_m^k}$.

575. Полная колода карт (52 листа) делится наугад на две пачки по 26 листов в каждой. Найти вероятность того, что в каждой пачке окажется по два туза.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В полной колоде 52 карты, из них 4 туза и 48 других карт (не тузов). Колода делится наугад на две пачки по 26 карт.

1. Найдем общее число способов разделить колоду на две пачки по 26 карт. Это эквивалентно числу способов выбрать 26 карт для первой пачки из 52. Порядок карт в пачке не важен, поэтому используем формулу сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число исходов $N$ равно числу способов выбрать 26 карт из 52:
$N = C_{52}^{26} = \frac{52!}{26! \cdot (52-26)!} = \frac{52!}{26! \cdot 26!}$

2. Теперь найдем число благоприятных исходов $M$. Благоприятный исход — это когда в каждой пачке по два туза. Рассмотрим одну (любую) пачку. Чтобы в ней было 2 туза, необходимо, чтобы в ее состав вошли:

• 2 туза из 4 имеющихся тузов. Число способов это сделать: $C_{4}^{2}$.
• Остальные $26 - 2 = 24$ карты из 48 карт, не являющихся тузами. Число способов это сделать: $C_{48}^{24}$.

По правилу произведения в комбинаторике, число способов составить первую пачку с двумя тузами равно:
$M = C_{4}^{2} \cdot C_{48}^{24}$
Если в первой пачке оказалось 2 туза и 24 не-туза, то во второй пачке автоматически останутся остальные $4-2=2$ туза и $48-24=24$ не-туза. Таким образом, условие задачи будет выполнено для обеих пачек.

Рассчитаем значение $C_{4}^{2}$:
$C_{4}^{2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$

3. Найдем искомую вероятность $P$:
$P = \frac{M}{N} = \frac{C_{4}^{2} \cdot C_{48}^{24}}{C_{52}^{26}} = \frac{6 \cdot \frac{48!}{24! \cdot 24!}}{\frac{52!}{26! \cdot 26!}}$

Упростим это выражение, раскрыв факториалы:
$P = 6 \cdot \frac{48!}{24! \cdot 24!} \cdot \frac{26! \cdot 26!}{52!} = 6 \cdot \frac{48! \cdot (26 \cdot 25 \cdot 24!) \cdot (26 \cdot 25 \cdot 24!)}{24! \cdot 24! \cdot (52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48!)}$
Сократив одинаковые множители и факториалы, получим:
$P = 6 \cdot \frac{26 \cdot 25 \cdot 26 \cdot 25}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49}$
Теперь сократим полученную дробь:
$P = 6 \cdot \frac{26}{52} \cdot \frac{25}{50} \cdot \frac{26}{51} \cdot \frac{25}{49} = 6 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{26}{51} \cdot \frac{25}{49} = \frac{6}{4} \cdot \frac{26}{51} \cdot \frac{25}{49} = \frac{3}{2} \cdot \frac{26}{51} \cdot \frac{25}{49}$
$P = 3 \cdot \frac{13}{51} \cdot \frac{25}{49} = \frac{3 \cdot 13}{3 \cdot 17} \cdot \frac{25}{49} = \frac{13}{17} \cdot \frac{25}{49} = \frac{325}{833}$

Ответ: $\frac{325}{833}$

576. В розыгрыше первенства страны по волейболу участвуют 18 команд, из которых случайным образом формируются две группы по 9 команд в каждой. Среди участников первенства имеются 5 команд из одной республики. Найти вероятность того, что все 5 команд этой республики попадут в одну и ту же группу.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Всего имеется 18 команд, которые случайным образом делятся на две группы по 9 команд. Найдем общее число способов сформировать первую группу. Порядок команд в группе не важен, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний. Число способов выбрать 9 команд из 18 равно:

$N = C_{18}^9 = \frac{18!}{9!(18-9)!} = \frac{18!}{9!9!} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}$

После сокращения дроби получаем:

$N = 11 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 17 \cdot 3 \cdot 2 = 48620$

Таким образом, существует 48620 способов сформировать первую группу из 9 команд (вторая группа при этом формируется автоматически из оставшихся 9 команд).

Теперь найдем число благоприятных исходов. Нас интересует событие, при котором все 5 команд из одной республики окажутся в одной группе. Это может произойти в двух случаях:

1. Все 5 команд попали в первую группу.

2. Все 5 команд попали во вторую группу.

Рассмотрим первый случай. Если все 5 команд из республики находятся в первой группе, то для ее полного формирования нужно добрать еще $9 - 5 = 4$ команды. Эти 4 команды выбираются из оставшихся $18 - 5 = 13$ команд. Число способов сделать это равно:

$M_1 = C_5^5 \cdot C_{13}^4 = 1 \cdot \frac{13!}{4!(13-4)!} = \frac{13!}{4!9!} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 10 \cdot 11 \cdot \frac{1}{2} \cdot 13 = 715$

Рассмотрим второй случай. Если все 5 команд из республики попали во вторую группу, это означает, что первая группа полностью (все 9 мест) сформирована из оставшихся $18 - 5 = 13$ команд. Число способов сделать это равно:

$M_2 = C_{13}^9 = \frac{13!}{9!(13-9)!} = \frac{13!}{9!4!} = C_{13}^4 = 715$

Поскольку эти два случая являются взаимоисключающими, общее число благоприятных исходов равно сумме исходов для каждого случая:

$M = M_1 + M_2 = 715 + 715 = 1430$

Теперь мы можем найти искомую вероятность:

$P = \frac{M}{N} = \frac{1430}{48620} = \frac{143}{4862}$

Сократим полученную дробь. Заметим, что $143 = 11 \cdot 13$. Проверим, делится ли знаменатель на 143: $4862 \div 143 = 34$.

$P = \frac{143}{143 \cdot 34} = \frac{1}{34}$

Ответ: $\frac{1}{34}$

577. Монету бросают 8 раз. Какова вероятность того, что орёл появится:

1) ровно 2 раза;

2) ровно 6 раз;

3) не менее 6 раз;

4) не более 2 раз?

Для решения данной задачи мы будем использовать схему испытаний Бернулли. В нашем случае проводится $n=8$ независимых испытаний (бросков монеты). Вероятность "успеха" (выпадения орла) в каждом испытании равна $p = \frac{1}{2}$, а вероятность "неудачи" (выпадения решки) — $q = 1-p = \frac{1}{2}$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний (биномиальный коэффициент).

Поскольку $p=q=\frac{1}{2}$, формула для нашей задачи упрощается:

$P_8(k) = C_8^k \cdot (\frac{1}{2})^k \cdot (\frac{1}{2})^{8-k} = C_8^k \cdot (\frac{1}{2})^8 = \frac{C_8^k}{256}$

Здесь $2^8 = 256$ — это общее число всех возможных элементарных исходов при 8 бросках монеты.

1) ровно 2 раза;

Требуется найти вероятность того, что орёл выпадет ровно $k=2$ раза. Сначала найдём число благоприятных исходов — это количество способов выбрать 2 "орла" из 8 бросков, которое равно числу сочетаний $C_8^2$.

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$

Теперь найдём вероятность, разделив число благоприятных исходов на общее число исходов:

$P_8(2) = \frac{C_8^2}{2^8} = \frac{28}{256}$

Сократим полученную дробь на 4:

$P_8(2) = \frac{28 \div 4}{256 \div 4} = \frac{7}{64}$

Ответ: $\frac{7}{64}$

2) ровно 6 раз;

Найдём вероятность того, что орёл выпадет ровно $k=6$ раз. Число благоприятных исходов равно $C_8^6$.

$C_8^6 = \frac{8!}{6!(8-6)!} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$

Вероятность этого события:

$P_8(6) = \frac{C_8^6}{2^8} = \frac{28}{256} = \frac{7}{64}$

Ответ: $\frac{7}{64}$

3) не менее 6 раз;

Событие "орёл появится не менее 6 раз" означает, что орёл выпадет 6, 7 или 8 раз. Вероятность этого сложного события равна сумме вероятностей несовместных событий: выпало 6 орлов, выпало 7 орлов, выпало 8 орлов.

$P(k \ge 6) = P_8(6) + P_8(7) + P_8(8)$

Вероятность $P_8(6)$ мы уже нашли: $P_8(6) = \frac{28}{256}$.

Вычислим остальные вероятности:

Для $k=7$: $C_8^7 = \frac{8!}{7!1!} = 8$. Тогда $P_8(7) = \frac{8}{256}$.

Для $k=8$: $C_8^8 = \frac{8!}{8!0!} = 1$. Тогда $P_8(8) = \frac{1}{256}$.

Теперь сложим все вероятности:

$P(k \ge 6) = \frac{28}{256} + \frac{8}{256} + \frac{1}{256} = \frac{28+8+1}{256} = \frac{37}{256}$

Ответ: $\frac{37}{256}$

4) не более 2 раз?

Событие "орёл появится не более 2 раз" означает, что орёл выпадет 0, 1 или 2 раза. Вероятность этого события равна сумме вероятностей:

$P(k \le 2) = P_8(0) + P_8(1) + P_8(2)$

Вероятность $P_8(2)$ мы уже знаем: $P_8(2) = \frac{28}{256}$.

Вычислим остальные вероятности:

Для $k=0$ (0 орлов, т.е. все 8 решек): $C_8^0 = 1$. Тогда $P_8(0) = \frac{1}{256}$.

Для $k=1$: $C_8^1 = \frac{8!}{1!7!} = 8$. Тогда $P_8(1) = \frac{8}{256}$.

Теперь сложим все вероятности:

$P(k \le 2) = \frac{1}{256} + \frac{8}{256} + \frac{28}{256} = \frac{1+8+28}{256} = \frac{37}{256}$

Ответ: $\frac{37}{256}$

578. Игральный кубик бросают 5 раз. Какова вероятность того, что одно очко появится:

1) ровно 2 раза;

2) ровно 3 раза;

3) не более 2 раз;

4) не менее 4 раз?

Это задача на использование формулы Бернулли для серии независимых испытаний. Пусть $n$ - общее число испытаний (бросков кубика), $k$ - число "успехов" (выпадений одного очка), $p$ - вероятность "успеха" в одном испытании, а $q$ - вероятность "неудачи".

В данном случае:
Число бросков $n = 5$.
"Успех" - это выпадение одного очка. Вероятность успеха в одном броске $p = \frac{1}{6}$.
"Неудача" - это выпадение любого другого числа очков. Вероятность неудачи $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - это число сочетаний из $n$ по $k$.

1) ровно 2 раза;
Ищем вероятность того, что одно очко выпадет ровно $k=2$ раза при $n=5$ бросках. Используем формулу Бернулли:
$P_5(2) = C_5^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^{5-2}$.
Вычислим число сочетаний: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{4 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 10$.
Подставляем значения в формулу: $P_5(2) = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $P_5(2) = \frac{625}{3888}$.
Ответ: $ \frac{625}{3888} $.

2) ровно 3 раза;
Ищем вероятность того, что одно очко выпадет ровно $k=3$ раза.
$P_5(3) = C_5^3 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^{5-3}$.
Число сочетаний: $C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{4 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 10$.
Подставляем значения: $P_5(3) = 10 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{25}{36} = \frac{250}{7776}$.
Сократим дробь на 2: $P_5(3) = \frac{125}{3888}$.
Ответ: $ \frac{125}{3888} $.

3) не более 2 раз;
Событие "не более 2 раз" означает, что одно очко выпадет 0, 1 или 2 раза. Это сумма вероятностей трех несовместных событий: $P(k \le 2) = P_5(0) + P_5(1) + P_5(2)$.
Вероятность $P_5(2)$ мы уже нашли: $P_5(2) = \frac{1250}{7776}$.
Найдем $P_5(0)$ и $P_5(1)$.
Для $k=0$: $P_5(0) = C_5^0 \cdot (\frac{1}{6})^0 \cdot (\frac{5}{6})^5 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3125}{7776} = \frac{3125}{7776}$.
Для $k=1$: $P_5(1) = C_5^1 \cdot (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^4 = 5 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{625}{1296} = \frac{3125}{7776}$.
Теперь сложим вероятности: $P(k \le 2) = \frac{3125}{7776} + \frac{3125}{7776} + \frac{1250}{7776} = \frac{3125+3125+1250}{7776} = \frac{7500}{7776}$.
Сократим дробь (можно разделить числитель и знаменатель на 12): $P(k \le 2) = \frac{7500 \div 12}{7776 \div 12} = \frac{625}{648}$.
Ответ: $ \frac{625}{648} $.

4) не менее 4 раз?
Событие "не менее 4 раз" означает, что одно очко выпадет 4 или 5 раз. Это сумма вероятностей двух событий: $P(k \ge 4) = P_5(4) + P_5(5)$.
Найдем эти вероятности.
Для $k=4$: $P_5(4) = C_5^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^1 = 5 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{7776}$.
Для $k=5$: $P_5(5) = C_5^5 \cdot (\frac{1}{6})^5 \cdot (\frac{5}{6})^0 = 1 \cdot \frac{1}{7776} \cdot 1 = \frac{1}{7776}$.
Сложим вероятности: $P(k \ge 4) = \frac{25}{7776} + \frac{1}{7776} = \frac{26}{7776}$.
Сократим дробь на 2: $P(k \ge 4) = \frac{13}{3888}$.
Ответ: $ \frac{13}{3888} $.

579. Вероятность того, что насекомое определённого вида будет жить более 100 дней, равна 0,5. Какова вероятность того, что среди выбранных для наблюдения 10 насекомых этого вида не менее 8 экземпляров будут жить более 100 дней?

Это задача на использование формулы Бернулли, которая применяется для серии независимых испытаний с двумя возможными исходами.

Введем следующие обозначения:

Событие «успеха» — насекомое живет более 100 дней. Вероятность этого события по условию равна $p = 0.5$.

Событие «неудачи» — насекомое живет 100 дней или меньше. Вероятность этого события равна $q = 1 - p = 1 - 0.5 = 0.5$.

Общее количество испытаний (выбранных для наблюдения насекомых) равно $n = 10$.

Нам необходимо найти вероятность того, что «не менее 8» насекомых проживут более 100 дней. Это означает, что число «успешных» исходов $k$ может быть равно 8, 9 или 10. Искомая вероятность $P$ является суммой вероятностей этих трех взаимоисключающих событий:

$P(\text{не менее 8}) = P(k=8) + P(k=9) + P(k=10)$

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент (число сочетаний).

Рассчитаем каждую вероятность отдельно.

1. Вероятность того, что ровно 8 насекомых проживут более 100 дней ($k=8$):

$P_{10}(8) = C_{10}^8 \cdot (0.5)^8 \cdot (0.5)^{10-8} = C_{10}^8 \cdot (0.5)^{10}$

$C_{10}^8 = \frac{10!}{8! \cdot (10-8)!} = \frac{10!}{8! \cdot 2!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$

Таким образом, $P_{10}(8) = 45 \cdot (0.5)^{10}$.

2. Вероятность того, что ровно 9 насекомых проживут более 100 дней ($k=9$):

$P_{10}(9) = C_{10}^9 \cdot (0.5)^9 \cdot (0.5)^{10-9} = C_{10}^9 \cdot (0.5)^{10}$

$C_{10}^9 = \frac{10!}{9! \cdot (10-9)!} = \frac{10!}{9! \cdot 1!} = 10$

Таким образом, $P_{10}(9) = 10 \cdot (0.5)^{10}$.

3. Вероятность того, что ровно 10 насекомых проживут более 100 дней ($k=10$):

$P_{10}(10) = C_{10}^{10} \cdot (0.5)^{10} \cdot (0.5)^{10-10} = C_{10}^{10} \cdot (0.5)^{10}$

$C_{10}^{10} = \frac{10!}{10! \cdot (10-10)!} = \frac{10!}{10! \cdot 0!} = 1$

Таким образом, $P_{10}(10) = 1 \cdot (0.5)^{10}$.

4. Суммарная вероятность:

Теперь сложим полученные вероятности:

$P = P_{10}(8) + P_{10}(9) + P_{10}(10) = 45 \cdot (0.5)^{10} + 10 \cdot (0.5)^{10} + 1 \cdot (0.5)^{10}$

$P = (45 + 10 + 1) \cdot (0.5)^{10} = 56 \cdot (0.5)^{10}$

Вычислим значение $(0.5)^{10}$:

$(0.5)^{10} = (\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024}$

Подставим это значение в выражение для $P$:

$P = 56 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{56}{1024}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 56 и 1024 равен 8:

$P = \frac{56 \div 8}{1024 \div 8} = \frac{7}{128}$

В виде десятичной дроби это значение равно $0.0546875$.

Ответ: $\frac{7}{128}$.