Страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

545. Вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле равна 0,7. Какова вероятность хотя бы одного попадания в мишень этим стрелком в результате двух выстрелов?

Для решения этой задачи воспользуемся методом вычисления вероятности через противоположное событие. Это часто упрощает расчеты в задачах, где используется формулировка "хотя бы один".

Пусть событие $A$ — это попадание в мишень при одном выстреле. По условию задачи, вероятность этого события составляет $P(A) = 0,7$.

Противоположное событие, которое мы обозначим как $\bar{A}$, — это промах при одном выстреле. Вероятность промаха можно найти, вычтя вероятность попадания из единицы: $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,7 = 0,3$.

Нам нужно найти вероятность события $B$ — "хотя бы одно попадание в мишень в результате двух выстрелов".

Противоположным для события $B$ будет событие $\bar{B}$ — "ни одного попадания в результате двух выстрелов". Это означает, что стрелок промахнулся и при первом, и при втором выстреле.

Поскольку результаты выстрелов являются независимыми друг от друга событиями, вероятность двух промахов подряд равна произведению вероятностей каждого отдельного промаха: $P(\bar{B}) = P(\text{промах в 1-м выстреле}) \times P(\text{промах во 2-м выстреле})$ $P(\bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{A}) = 0,3 \times 0,3 = 0,09$.

Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1, то есть $P(B) + P(\bar{B}) = 1$. Отсюда мы можем легко найти искомую вероятность события $B$ (хотя бы одно попадание): $P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - 0,09 = 0,91$.

Ответ: 0,91

546. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,2, а вторым — 0,3. Какова вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы одним выстрелом, если стрелки выстрелили в неё по одному разу независимо друг от друга?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием противоположного события. Событие, которое нас интересует, — «мишень поражена хотя бы одним выстрелом». Противоположным ему будет событие «мишень не поражена ни одним выстрелом», то есть оба стрелка промахнулись.

Пусть событие $A$ — первый стрелок попал в мишень. По условию, его вероятность $P(A) = 0,2$.
Пусть событие $B$ — второй стрелок попал в мишень. По условию, его вероятность $P(B) = 0,3$.

Найдем вероятности промахов для каждого стрелка. Вероятность того, что первый стрелок промахнется, обозначим как $P(\bar{A})$. Это событие, противоположное событию $A$, поэтому его вероятность равна:
$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,2 = 0,8$.

Вероятность того, что второй стрелок промахнется, обозначим как $P(\bar{B})$. Это событие, противоположное событию $B$, и его вероятность равна:
$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,3 = 0,7$.

Поскольку выстрелы производятся независимо друг от друга, вероятность того, что оба стрелка промахнутся, равна произведению вероятностей промаха каждого из них:
$P(\bar{A} \text{ и } \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0,8 \cdot 0,7 = 0,56$.

Событие «мишень поражена хотя бы одним выстрелом» и событие «оба стрелка промахнулись» являются противоположными. Сумма их вероятностей равна 1. Следовательно, искомая вероятность равна:
$P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - P(\text{оба промахнулись}) = 1 - 0,56 = 0,44$.

Ответ: 0,44

547. В выпущенной заводом партии деталей 2% брака, и произвольным образом выбранные 0,3 от числа всех деталей окрашены в зелёный цвет. Какова вероятность того, что случайным образом вынутая из партии деталь окажется неокрашенной и небракованной?

Для решения этой задачи введем два независимых события. Пусть событие A заключается в том, что деталь бракованная, а событие B — в том, что деталь окрашена в зелёный цвет.

Из условия задачи нам известны вероятности этих событий:

1. Вероятность того, что деталь является бракованной, составляет 2%. Переведем проценты в доли: $P(A) = 2\% = 0,02$.

2. Вероятность того, что деталь окрашена в зелёный цвет, составляет 0,3: $P(B) = 0,3$.

Нас интересует вероятность события, что случайным образом выбранная деталь окажется неокрашенной и небракованной. Это означает, что мы ищем вероятность одновременного наступления двух событий, противоположных A и B.

Обозначим противоположные события:

• $\bar{A}$ — деталь небракованная.
• $\bar{B}$ — деталь неокрашенная.

Вероятность противоположного события равна $1$ минус вероятность исходного события. Рассчитаем вероятности для $\bar{A}$ и $\bar{B}$:

Вероятность того, что деталь небракованная: $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,02 = 0,98$.

Вероятность того, что деталь неокрашенная: $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,3 = 0,7$.

Поскольку в условии указано, что детали для окрашивания выбирались «произвольным образом», можно сделать вывод, что события A и B являются независимыми. Это означает, что факт брака не влияет на то, будет ли деталь окрашена, и наоборот. Если события A и B независимы, то их противоположные события $\bar{A}$ и $\bar{B}$ также независимы.

Вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению их вероятностей. Следовательно, искомая вероятность того, что деталь окажется и небракованной, и неокрашенной, вычисляется по формуле:

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B})$

Подставим в формулу вычисленные значения:

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,98 \times 0,7 = 0,686$

Ответ: 0,686

548. Вероятность попадания по мишени первым стрелком равна 0,6, вторым — 0,7, третьим — 0,8. Каждый из них стреляет по мишени один раз. Какова вероятность того, что мишень поразят только первый и третий стрелки?

Для решения этой задачи необходимо вычислить вероятность сложного события, состоящего из трех независимых событий, которые должны произойти одновременно:
1. Первый стрелок попадает в мишень.
2. Второй стрелок промахивается.
3. Третий стрелок попадает в мишень.

Введем обозначения для вероятностей событий:
$P_1$ — вероятность попадания первого стрелка, $P_1 = 0.6$.
$P_2$ — вероятность попадания второго стрелка, $P_2 = 0.7$.
$P_3$ — вероятность попадания третьего стрелка, $P_3 = 0.8$.

Событие "второй стрелок промахнулся" является противоположным событию "второй стрелок попал". Вероятность противоположного события ($Q$) вычисляется как $Q = 1 - P$.
Найдем вероятность промаха для второго стрелка ($Q_2$):
$Q_2 = 1 - P_2 = 1 - 0.7 = 0.3$.

Поскольку выстрелы стрелков являются независимыми событиями, вероятность их одновременного наступления равна произведению их индивидуальных вероятностей. Искомая вероятность (обозначим ее $P_{итог}$) будет равна произведению вероятности попадания первого стрелка, вероятности промаха второго стрелка и вероятности попадания третьего стрелка.

$P_{итог} = P_1 \times Q_2 \times P_3$

Подставим числовые значения в формулу:
$P_{итог} = 0.6 \times 0.3 \times 0.8 = 0.144$

Таким образом, вероятность того, что мишень поразят только первый и третий стрелки, составляет 0,144.

Ответ: 0,144

549. На предприятии 120 человек, среди которых 40 женщин. Каждый сотрудник покупает один билет денежно-вещевой лотереи (20 % выигрышных билетов) и один билет спортивной лотереи (10 % выигрышных билетов). Какова вероятность того, что выбранный случайным образом из списка сотрудников предприятия один человек окажется мужчиной, выигравшим в обеих лотереях?

Для решения задачи нам необходимо найти вероятность одновременного наступления трех независимых событий:
1. Случайно выбранный сотрудник является мужчиной (событие А).
2. Сотрудник выиграл в денежно-вещевую лотерею (событие B).
3. Сотрудник выиграл в спортивную лотерею (событие C).

Поскольку эти события являются независимыми, вероятность их совместного наступления равна произведению их индивидуальных вероятностей: $P(А \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$.

1. Найдем вероятность того, что случайно выбранный сотрудник - мужчина

Всего сотрудников на предприятии: $120$.
Количество женщин: $40$.
Следовательно, количество мужчин составляет: $120 - 40 = 80$ человек.
Вероятность того, что случайно выбранный сотрудник окажется мужчиной (событие A), равна отношению числа мужчин к общему числу сотрудников:
$P(A) = \frac{80}{120} = \frac{2}{3}$

2. Найдем вероятности выигрыша в каждой из лотерей

Вероятность выигрыша в денежно-вещевую лотерею (событие B) составляет $20\%$, так как каждый сотрудник покупает один билет, а $20\%$ билетов являются выигрышными.
$P(B) = 20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$
Вероятность выигрыша в спортивную лотерею (событие C) составляет $10\%$.
$P(C) = 10\% = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$

3. Найдем искомую вероятность

Искомая вероятность — это вероятность того, что произойдут все три независимых события одновременно. Она вычисляется как произведение вероятностей этих событий:
$P(А \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$
Подставим найденные значения:
$P(А \cap B \cap C) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{10} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 1}{3 \cdot 5 \cdot 10} = \frac{2}{150} = \frac{1}{75}$

Ответ: $\frac{1}{75}$