Страница 209 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

536. В букете—10 гвоздик и 5 нарциссов. Оля и Таня случайным образом поочереди вынимают из букета по одному цветку. Какова вероятность того, что Оля вынула гвоздику, а Таня — нарцисс? (Решить задачу разными способами.)

Всего в букете находится $10 + 5 = 15$ цветов. Задача состоит в том, чтобы найти вероятность последовательного наступления двух событий: Оля вынимает гвоздику, а затем Таня вынимает нарцисс. Так как цветы не возвращаются в букет, эти события являются зависимыми.

Способ 1: Использование теоремы умножения вероятностей

Этот метод заключается в последовательном расчете вероятности каждого события.

1. Вероятность того, что Оля вынет гвоздику. Обозначим это событие как A. В букете 15 цветов, из которых 10 — гвоздики. Вероятность этого события равна:

$P(A) = \frac{\text{число гвоздик}}{\text{общее число цветов}} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

2. После того как Оля вынула одну гвоздику, в букете осталось $15 - 1 = 14$ цветов. Количество гвоздик стало $10 - 1 = 9$, а количество нарциссов осталось прежним — 5.

3. Вероятность того, что Таня после этого вынет нарцисс. Обозначим это событие как B. Вероятность события B при условии, что событие A уже произошло, равна:

$P(B|A) = \frac{\text{число нарциссов}}{\text{оставшееся число цветов}} = \frac{5}{14}$

4. Вероятность того, что оба события произойдут последовательно, находится как произведение вероятности первого события на условную вероятность второго:

$P(\text{Оля - гвоздика, Таня - нарцисс}) = P(A) \times P(B|A) = \frac{10}{15} \times \frac{5}{14} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{14} = \frac{10}{42} = \frac{5}{21}$

Ответ: $\frac{5}{21}$

Способ 2: Использование формул комбинаторики (классическое определение вероятности)

Вероятность события можно найти как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

1. Найдем общее число всех возможных исходов (N). Оля и Таня поочередно вынимают 2 цветка из 15. Так как порядок, в котором извлекаются цветы, важен (первый цветок для Оли, второй для Тани), мы используем формулу для нахождения числа размещений из n элементов по k:

$N = A_{15}^2 = \frac{15!}{(15-2)!} = 15 \times 14 = 210$

Таким образом, существует 210 различных упорядоченных пар цветов, которые могут вынуть девочки.

2. Найдем число благоприятных исходов (M). Благоприятный исход — это когда первый вынутый цветок (Олин) является гвоздикой, а второй (Танин) — нарциссом.

Число способов выбрать 1 гвоздику из 10 для Оли равно 10.

Число способов выбрать 1 нарцисс из 5 для Тани равно 5.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число благоприятных исходов равно:

$M = 10 \times 5 = 50$

3. Вычислим искомую вероятность как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{M}{N} = \frac{50}{210} = \frac{5}{21}$

Ответ: $\frac{5}{21}$

537. В партии из 100 деталей 2 детали бракованные. Два контролёра поочереди вынимают случайным образом по одной детали. Какова вероятность того, что первому контролёру досталась бракованная, а второму — небракованная деталь? (Решить задачу разными способами.)

В партии находится 100 деталей, из которых 2 бракованные и $100 - 2 = 98$ небракованных (стандартных).

Способ 1. Использование теоремы умножения вероятностей

Рассмотрим два зависимых события:
Событие A: первый контролёр вынул бракованную деталь.
Событие B: второй контролёр вынул небракованную деталь.

Нам нужно найти вероятность совместного наступления этих событий, то есть $P(A \cap B)$. По теореме умножения вероятностей для зависимых событий: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$, где $P(B|A)$ — условная вероятность события B при условии, что событие A уже произошло.

1. Найдём вероятность события A.
Всего в партии 100 деталей, из них 2 бракованные. Вероятность того, что первый контролёр вынет бракованную деталь, равна:
$P(A) = \frac{2}{100} = \frac{1}{50}$

2. Найдём вероятность события B при условии, что событие A произошло.
После того как первый контролёр вынул одну бракованную деталь, в партии осталось $100 - 1 = 99$ деталей. Из них бракованных осталась $2 - 1 = 1$ деталь, а небракованных по-прежнему 98.
Вероятность того, что второй контролёр вынет небракованную деталь, равна:
$P(B|A) = \frac{98}{99}$

3. Теперь вычислим искомую вероятность:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{2}{100} \cdot \frac{98}{99} = \frac{196}{9900}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:
$\frac{196}{9900} = \frac{196 \div 4}{9900 \div 4} = \frac{49}{2475}$

Ответ: $\frac{49}{2475}$

Способ 2. Использование классического определения вероятности (комбинаторика)

Вероятность события можно найти по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдём общее число исходов $n$.
Контролёры вынимают детали поочерёдно, поэтому важен порядок их извлечения. Общее число исходов — это число размещений из 100 деталей по 2.
$n = A_{100}^2 = \frac{100!}{(100-2)!} = \frac{100!}{98!} = 100 \cdot 99 = 9900$
Или, рассуждая иначе: у первого контролёра 100 вариантов выбора, у второго — 99. Всего $100 \cdot 99 = 9900$ исходов.

2. Найдём число благоприятных исходов $m$.
Благоприятный исход — это когда первому контролёру досталась бракованная деталь, а второму — небракованная.
Число способов выбрать первую (бракованную) деталь равно 2.
Число способов выбрать вторую (небракованную) деталь из оставшихся 99 деталей равно 98.
По правилу произведения, число благоприятных исходов равно:
$m = 2 \cdot 98 = 196$

3. Найдём искомую вероятность:
$P = \frac{m}{n} = \frac{196}{9900} = \frac{49}{2475}$

Ответ: $\frac{49}{2475}$

538. Студент, которому предстояло сдать зачёт, знал ответы на 70 вопросов из 90. Какова вероятность того, что он:

1) верно ответит на два вопроса;

2) ответит на второй вопрос при условии, что он не знал ответа на первый вопрос?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности и понятием условной вероятности. Всего имеется 90 вопросов. Студент знает ответы на 70 вопросов (благоприятные исходы для правильного ответа). Студент не знает ответы на 90 - 70 = 20 вопросов.

1) верно ответит на два вопроса;

Это событие состоит из двух последовательных событий: студент верно отвечает на первый вопрос, а затем верно отвечает на второй вопрос. Будем считать, что вопросы не повторяются, то есть студент вытягивает два разных билета.

Пусть событие A - "студент верно ответил на первый вопрос". Вероятность этого события равна отношению числа известных вопросов к общему числу вопросов: $P(A) = \frac{70}{90} = \frac{7}{9}$

После того как студент ответил на первый вопрос, осталось 89 вопросов. Если первый ответ был верным, то среди оставшихся вопросов теперь 69 тех, на которые студент знает ответ. Пусть событие B - "студент верно ответил на второй вопрос". Вероятность события B при условии, что событие A уже произошло (условная вероятность), равна: $P(B|A) = \frac{69}{89}$

Вероятность того, что оба события произойдут, находится по формуле умножения вероятностей зависимых событий: $P(\text{оба верны}) = P(A) \times P(B|A) = \frac{70}{90} \times \frac{69}{89} = \frac{7}{9} \times \frac{69}{89}$
Сократим дробь: $\frac{7 \times 69}{9 \times