Страница 215 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

550. Монету бросают 10 раз. Какова вероятность того, что орёл появится при этом ровно:

1) 4 раза;

2) 5 раз?

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая позволяет вычислить вероятность наступления события ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:

$n$ — общее число испытаний (в данном случае бросков монеты), $n = 10$.

$k$ — число появлений «успеха» (выпадения орла).

$p$ — вероятность «успеха» в одном испытании. Для симметричной монеты вероятность выпадения орла $p = \frac{1}{2}$.

$q$ — вероятность «неудачи» (выпадения решки), $q = 1-p = \frac{1}{2}$.

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Общее число всех возможных исходов при 10 бросках монеты равно $2^{10} = 1024$. Вероятность любой конкретной последовательности из 10 бросков равна $(\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{1024}$.

1) 4 раза

Требуется найти вероятность того, что орёл появится ровно $k=4$ раза. Сначала вычислим количество комбинаций, при которых может выпасть 4 орла из 10 бросков. Это число сочетаний из 10 по 4:

$C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$.

Это количество благоприятных исходов. Чтобы найти искомую вероятность, нужно умножить количество благоприятных исходов на вероятность каждого из них:

$P_{10}(4) = C_{10}^4 \cdot (\frac{1}{2})^{10} = 210 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{210}{1024}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{210}{1024} = \frac{105}{512}$.

Ответ: $\frac{105}{512}$.

2) 5 раз

Требуется найти вероятность того, что орёл появится ровно $k=5$ раз. Вычислим количество комбинаций, при которых может выпасть 5 орлов из 10 бросков:

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 = 252$.

Это количество благоприятных исходов. Теперь найдем вероятность:

$P_{10}(5) = C_{10}^5 \cdot (\frac{1}{2})^{10} = 252 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{252}{1024}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{252}{1024} = \frac{63}{256}$.

Ответ: $\frac{63}{256}$.

551. Игральный кубик бросают 5 раз. Какова вероятность того, что 6 очков появятся ровно:

1) 2 раза;

2) 4 раза?

Данная задача решается с помощью формулы Бернулли для последовательности независимых испытаний. Эта формула позволяет вычислить вероятность того, что в $n$ испытаниях определенное событие произойдет ровно $k$ раз.

Формула Бернулли имеет вид:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:
$n$ – общее количество испытаний (в данном случае, бросков кубика);
$k$ – количество "успешных" исходов (выпадений шестерки);
$p$ – вероятность "успеха" в одном испытании (вероятность выпадения шестерки);
$q$ – вероятность "неудачи" в одном испытании (вероятность невыпадения шестерки), равная $1-p$;
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – биномиальный коэффициент, представляющий собой число сочетаний из $n$ по $k$.

Определим параметры для нашей задачи:
Общее число бросков: $n = 5$.
Событие-"успех" – выпадение 6 очков.
Вероятность "успеха" в одном броске: $p = \frac{1}{6}$.
Вероятность "неудачи" (выпадение любого другого числа): $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

1) 2 раза

Требуется найти вероятность того, что 6 очков выпадут ровно $k=2$ раза в $n=5$ бросках. Подставим значения в формулу Бернулли:

$P_5(2) = C_5^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^{5-2} = C_5^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^3$

Сначала рассчитаем биномиальный коэффициент $C_5^2$:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3)} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10$

Теперь подставим все вычисленные значения в основную формулу:

$P_5(2) = 10 \cdot \frac{1^2}{6^2} \cdot \frac{5^3}{6^3} = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{10 \cdot 1 \cdot 125}{36 \cdot 216} = \frac{1250}{7776}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$P_5(2) = \frac{1250 : 2}{7776 : 2} = \frac{625}{3888}$

Ответ: $\frac{625}{3888}$

2) 4 раза

Теперь найдем вероятность того, что 6 очков выпадут ровно $k=4$ раза в $n=5$ бросках. Снова используем формулу Бернулли:

$P_5(4) = C_5^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^{5-4} = C_5^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^1$

Рассчитаем биномиальный коэффициент $C_5^4$:

$C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4) \cdot 1} = 5$

Подставим значения в формулу вероятности:

$P_5(4) = 5 \cdot \frac{1^4}{6^4} \cdot \frac{5^1}{6^1} = 5 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 1 \cdot 5}{1296 \cdot 6} = \frac{25}{7776}$

Эта дробь является несократимой, так как числитель 25 делится только на 5, а знаменатель 7776 (оканчивается на 6) на 5 не делится.

Ответ: $\frac{25}{7776}$

552. Игральный кубик бросают 4 раза. Какова вероятность того, что 6 очков в этой серии испытаний появятся не менее трёх раз?

Для решения данной задачи используется схема Бернулли для серии независимых испытаний.

Обозначим параметры:

• $n=4$ — общее количество испытаний (бросков кубика).
• Событие "успех" — выпадение 6 очков.
• $p$ — вероятность "успеха" в одном испытании. При броске стандартного кубика $p = \frac{1}{6}$.
• $q$ — вероятность "неудачи" (выпадение любого другого числа). $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Требуется найти вероятность того, что 6 очков появятся "не менее трёх раз". Это означает, что событие "успех" должно произойти либо ровно 3 раза, либо ровно 4 раза.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях успех наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ , где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

Рассмотрим два несовместных случая:

1. Выпало ровно 3 шестёрки ($k=3$).
Вероятность этого события: $P_4(3) = C_4^3 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^{4-3}$
$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4}{1} = 4$
$P_4(3) = 4 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{5}{6} = \frac{20}{1296}$

2. Выпало ровно 4 шестёрки ($k=4$).
Вероятность этого события: $P_4(4) = C_4^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^{4-4}$
$C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = 1$
$P_4(4) = 1 \cdot \frac{1}{1296} \cdot 1 = \frac{1}{1296}$

Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих двух случаев, так как они несовместны: $P(\text{не менее 3 раз}) = P_4(3) + P_4(4) = \frac{20}{1296} + \frac{1}{1296} = \frac{21}{1296}$

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 3: $\frac{21}{1296} = \frac{7}{432}$

Ответ: $\frac{7}{432}$

553. Вероятность попадания по кольцу у некоторого баскетболиста при каждом броске равна 0,7. Какова вероятность у этого баскетболиста попасть по кольцу хотя бы один раз в серии из трёх бросков?

Обозначим событие A — «баскетболист попадает по кольцу при одном броске». По условию, вероятность этого события $p = 0,7$.

Событие, противоположное событию A, — «баскетболист промахивается при одном броске». Обозначим его вероятность как $q$. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, поэтому: $q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3$.

Нам нужно найти вероятность события B — «баскетболист попадёт по кольцу хотя бы один раз в серии из трёх бросков».

Проще всего решить эту задачу, рассмотрев противоположное событие $\bar{B}$ — «баскетболист не попадёт по кольцу ни разу за три броска», то есть промахнётся все три раза.

Поскольку броски являются независимыми событиями, вероятность трёх промахов подряд равна произведению вероятностей каждого из этих промахов: $P(\bar{B}) = q \cdot q \cdot q = q^3 = (0,3)^3 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,027$.

Вероятность искомого события B (попасть хотя бы один раз) равна разности между единицей и вероятностью противоположного события $\bar{B}$ (промахнуться все три раза): $P(B) = 1 - P(\bar{B}) = 1 - 0,027 = 0,973$.

Ответ: 0,973

554. Какова вероятность того, что при одном бросании игральной кости выпадет либо 5, либо 6 очков?

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события вычисляется как отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Формула для вычисления вероятности $P$ имеет вид: $P = \frac{m}{n}$, где:

• $n$ — общее число всех равновозможных исходов;
• $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

При бросании стандартной игральной кости (кубика с 6 гранями) существует 6 возможных исходов, так как может выпасть любое целое число от 1 до 6. Таким образом, общее число равновозможных исходов $n = 6$.

Нас интересует событие, при котором выпадает "либо 5, либо 6 очков". Это означает, что для нас благоприятными являются два исхода:

1. Выпало 5 очков.
2. Выпало 6 очков.

Следовательно, число благоприятных исходов $m = 2$.

Теперь подставим найденные значения $n$ и $m$ в формулу вероятности:

$P = \frac{m}{n} = \frac{2}{6}$

Полученную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2:

$P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: Вероятность того, что при одном бросании игральной кости выпадет либо 5, либо 6 очков, равна $\frac{1}{3}$.

555. Из урны, содержащей 15 белых, 10 красных и 5 синих шаров, наугад извлекается один шар. Какова вероятность появления белого шара?

Для решения данной задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события (в данном случае — извлечение белого шара) вычисляется как отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Формула для вычисления вероятности $P$:

$P = \frac{m}{n}$

где:

• $n$ — общее число возможных исходов (общее количество шаров в урне).
• $m$ — число исходов, благоприятствующих событию (количество белых шаров).

1. Сначала найдем общее число шаров в урне ($n$):

$n = 15 \text{ (белых)} + 10 \text{ (красных)} + 5 \text{ (синих)} = 30$

Таким образом, общее число возможных исходов равно 30.

2. Теперь найдем число исходов, благоприятствующих событию «появление белого шара» ($m$). Это число равно количеству белых шаров в урне:

$m = 15$

3. Подставим найденные значения в формулу вероятности:

$P(\text{белый шар}) = \frac{m}{n} = \frac{15}{30}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{15}{30} = \frac{1}{2} = 0.5$

Следовательно, вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, равна 0.5.

Ответ: 0.5

556. Одновременно бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8.

Для решения задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула для вычисления вероятности $P$ выглядит так: $P = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $N$ — общее число исходов.

1. Найдем общее число всех возможных исходов ($N$). При броске одной игральной кости есть 6 возможных исходов (выпадение чисел от 1 до 6). Так как бросают две кости, и результаты их бросков являются независимыми событиями, общее число всех возможных комбинаций очков равно произведению числа исходов для каждой кости. $N = 6 \times 6 = 36$.

2. Найдем число благоприятных исходов ($m$). Благоприятным исходом является событие, при котором сумма очков на двух костях равна 8. Перечислим все комбинации, удовлетворяющие этому условию. Обозначим результат на первой кости как $k_1$, а на второй — как $k_2$. Нам нужны пары ($k_1, k_2$), для которых $k_1 + k_2 = 8$:

• 2 + 6 = 8, пара (2, 6)
• 3 + 5 = 8, пара (3, 5)
• 4 + 4 = 8, пара (4, 4)
• 5 + 3 = 8, пара (5, 3)
• 6 + 2 = 8, пара (6, 2)

Таким образом, существует 5 благоприятных исходов, то есть $m = 5$.

3. Вычислим вероятность. Теперь, зная общее число исходов и число благоприятных исходов, можем найти вероятность: $P = \frac{m}{N} = \frac{5}{36}$.

Ответ: $\frac{5}{36}$

557. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Какова вероятность того, что номер набран правильно?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов.

Формула вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где:

• $n$ — общее число всех возможных исходов.
• $m$ — число благоприятных исходов.

1. Найдем общее число возможных исходов (n).

Абонент забыл две последние цифры. Всего существует 10 цифр (от 0 до 9). Ему нужно выбрать две цифры, причем, по условию, они должны быть различными. Порядок цифр важен, так как, например, окончания номера 12 и 21 различны. Следовательно, нам нужно найти число размещений из 10 элементов по 2.

Число размещений вычисляется по формуле: $A_k^n = \frac{k!}{(k-n)!}$

В нашем случае $k=10$ (общее количество цифр), $n=2$ (количество забытых цифр).

$n = A_{10}^2 = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8!} = 10 \times 9 = 90$

Таким образом, существует 90 различных способов набрать две последние цифры, если они различны.

2. Найдем число благоприятных исходов (m).

Благоприятный исход — это когда набраны правильные две цифры в правильном порядке. Существует только одна такая комбинация.

Следовательно, $m = 1$.

3. Вычислим вероятность.

Подставим найденные значения $m$ и $n$ в формулу вероятности:

$P = \frac{m}{n} = \frac{1}{90}$

Ответ: $\frac{1}{90}$