Номер 551, страница 215 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Параграф 5. Формула Бернулли [2012] - номер 551, страница 215.

Условие.

551. Игральный кубик бросают 5 раз. Какова вероятность того, что 6 очков появятся ровно:

1) 2 раза;

2) 4 раза?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данная задача решается с помощью формулы Бернулли для последовательности независимых испытаний. Эта формула позволяет вычислить вероятность того, что в $n$ испытаниях определенное событие произойдет ровно $k$ раз.

Формула Бернулли имеет вид:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:
$n$ – общее количество испытаний (в данном случае, бросков кубика);
$k$ – количество "успешных" исходов (выпадений шестерки);
$p$ – вероятность "успеха" в одном испытании (вероятность выпадения шестерки);
$q$ – вероятность "неудачи" в одном испытании (вероятность невыпадения шестерки), равная $1-p$;
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – биномиальный коэффициент, представляющий собой число сочетаний из $n$ по $k$.

Определим параметры для нашей задачи:
Общее число бросков: $n = 5$.
Событие-"успех" – выпадение 6 очков.
Вероятность "успеха" в одном броске: $p = \frac{1}{6}$.
Вероятность "неудачи" (выпадение любого другого числа): $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

1) 2 раза

Требуется найти вероятность того, что 6 очков выпадут ровно $k=2$ раза в $n=5$ бросках. Подставим значения в формулу Бернулли:

$P_5(2) = C_5^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^{5-2} = C_5^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^3$

Сначала рассчитаем биномиальный коэффициент $C_5^2$:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1 \cdot 2) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3)} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10$

Теперь подставим все вычисленные значения в основную формулу:

$P_5(2) = 10 \cdot \frac{1^2}{6^2} \cdot \frac{5^3}{6^3} = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{10 \cdot 1 \cdot 125}{36 \cdot 216} = \frac{1250}{7776}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$P_5(2) = \frac{1250 : 2}{7776 : 2} = \frac{625}{3888}$

Ответ: $\frac{625}{3888}$

2) 4 раза

Теперь найдем вероятность того, что 6 очков выпадут ровно $k=4$ раза в $n=5$ бросках. Снова используем формулу Бернулли:

$P_5(4) = C_5^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^{5-4} = C_5^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^1$

Рассчитаем биномиальный коэффициент $C_5^4$:

$C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4) \cdot 1} = 5$

Подставим значения в формулу вероятности:

$P_5(4) = 5 \cdot \frac{1^4}{6^4} \cdot \frac{5^1}{6^1} = 5 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 1 \cdot 5}{1296 \cdot 6} = \frac{25}{7776}$

Эта дробь является несократимой, так как числитель 25 делится только на 5, а знаменатель 7776 (оканчивается на 6) на 5 не делится.

Ответ: $\frac{25}{7776}$