Номер 550, страница 215 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 5. Формула Бернулли [2012]. Глава 6. Элементы теории вероятностей - номер 550, страница 215.

Условие.

550. Монету бросают 10 раз. Какова вероятность того, что орёл появится при этом ровно:

1) 4 раза;

2) 5 раз?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая позволяет вычислить вероятность наступления события ровно $k$ раз в $n$ независимых испытаниях:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:

$n$ — общее число испытаний (в данном случае бросков монеты), $n = 10$.

$k$ — число появлений «успеха» (выпадения орла).

$p$ — вероятность «успеха» в одном испытании. Для симметричной монеты вероятность выпадения орла $p = \frac{1}{2}$.

$q$ — вероятность «неудачи» (выпадения решки), $q = 1-p = \frac{1}{2}$.

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Общее число всех возможных исходов при 10 бросках монеты равно $2^{10} = 1024$. Вероятность любой конкретной последовательности из 10 бросков равна $(\frac{1}{2})^{10} = \frac{1}{1024}$.

1) 4 раза

Требуется найти вероятность того, что орёл появится ровно $k=4$ раза. Сначала вычислим количество комбинаций, при которых может выпасть 4 орла из 10 бросков. Это число сочетаний из 10 по 4:

$C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$.

Это количество благоприятных исходов. Чтобы найти искомую вероятность, нужно умножить количество благоприятных исходов на вероятность каждого из них:

$P_{10}(4) = C_{10}^4 \cdot (\frac{1}{2})^{10} = 210 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{210}{1024}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{210}{1024} = \frac{105}{512}$.

Ответ: $\frac{105}{512}$.

2) 5 раз

Требуется найти вероятность того, что орёл появится ровно $k=5$ раз. Вычислим количество комбинаций, при которых может выпасть 5 орлов из 10 бросков:

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 = 252$.

Это количество благоприятных исходов. Теперь найдем вероятность:

$P_{10}(5) = C_{10}^5 \cdot (\frac{1}{2})^{10} = 252 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{252}{1024}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{252}{1024} = \frac{63}{256}$.

Ответ: $\frac{63}{256}$.