Номер 549, страница 212 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Параграф 4. Вероятность произведения независмых событий - номер 549, страница 212.

Условие.

549. На предприятии 120 человек, среди которых 40 женщин. Каждый сотрудник покупает один билет денежно-вещевой лотереи (20 % выигрышных билетов) и один билет спортивной лотереи (10 % выигрышных билетов). Какова вероятность того, что выбранный случайным образом из списка сотрудников предприятия один человек окажется мужчиной, выигравшим в обеих лотереях?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи нам необходимо найти вероятность одновременного наступления трех независимых событий:
1. Случайно выбранный сотрудник является мужчиной (событие А).
2. Сотрудник выиграл в денежно-вещевую лотерею (событие B).
3. Сотрудник выиграл в спортивную лотерею (событие C).

Поскольку эти события являются независимыми, вероятность их совместного наступления равна произведению их индивидуальных вероятностей: $P(А \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$.

1. Найдем вероятность того, что случайно выбранный сотрудник - мужчина

Всего сотрудников на предприятии: $120$.
Количество женщин: $40$.
Следовательно, количество мужчин составляет: $120 - 40 = 80$ человек.
Вероятность того, что случайно выбранный сотрудник окажется мужчиной (событие A), равна отношению числа мужчин к общему числу сотрудников:
$P(A) = \frac{80}{120} = \frac{2}{3}$

2. Найдем вероятности выигрыша в каждой из лотерей

Вероятность выигрыша в денежно-вещевую лотерею (событие B) составляет $20\%$, так как каждый сотрудник покупает один билет, а $20\%$ билетов являются выигрышными.
$P(B) = 20\% = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}$
Вероятность выигрыша в спортивную лотерею (событие C) составляет $10\%$.
$P(C) = 10\% = \frac{10}{100} = \frac{1}{10}$

3. Найдем искомую вероятность

Искомая вероятность — это вероятность того, что произойдут все три независимых события одновременно. Она вычисляется как произведение вероятностей этих событий:
$P(А \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$
Подставим найденные значения:
$P(А \cap B \cap C) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{10} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 1}{3 \cdot 5 \cdot 10} = \frac{2}{150} = \frac{1}{75}$

Ответ: $\frac{1}{75}$