Номер 552, страница 215 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Параграф 5. Формула Бернулли [2012] - номер 552, страница 215.

Условие.

552. Игральный кубик бросают 4 раза. Какова вероятность того, что 6 очков в этой серии испытаний появятся не менее трёх раз?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения данной задачи используется схема Бернулли для серии независимых испытаний.

Обозначим параметры:

• $n=4$ — общее количество испытаний (бросков кубика).
• Событие "успех" — выпадение 6 очков.
• $p$ — вероятность "успеха" в одном испытании. При броске стандартного кубика $p = \frac{1}{6}$.
• $q$ — вероятность "неудачи" (выпадение любого другого числа). $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Требуется найти вероятность того, что 6 очков появятся "не менее трёх раз". Это означает, что событие "успех" должно произойти либо ровно 3 раза, либо ровно 4 раза.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях успех наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$ , где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

Рассмотрим два несовместных случая:

1. Выпало ровно 3 шестёрки ($k=3$).
Вероятность этого события: $P_4(3) = C_4^3 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^{4-3}$
$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4}{1} = 4$
$P_4(3) = 4 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{5}{6} = \frac{20}{1296}$

2. Выпало ровно 4 шестёрки ($k=4$).
Вероятность этого события: $P_4(4) = C_4^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^{4-4}$
$C_4^4 = \frac{4!}{4!(4-4)!} = 1$
$P_4(4) = 1 \cdot \frac{1}{1296} \cdot 1 = \frac{1}{1296}$

Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих двух случаев, так как они несовместны: $P(\text{не менее 3 раз}) = P_4(3) + P_4(4) = \frac{20}{1296} + \frac{1}{1296} = \frac{21}{1296}$

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 3: $\frac{21}{1296} = \frac{7}{432}$

Ответ: $\frac{7}{432}$