Страница 203 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

522. В колоде 36 карт. Наугад вынимается одна карта. Какова вероятность того, что эта карта либо туз, либо дама?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$. Формула выглядит так: $P = \frac{m}{n}$.

В данной задаче общее число всех равновозможных исходов $n$ равно количеству карт в колоде, то есть $n = 36$.

Событие, вероятность которого мы ищем, — это извлечение карты, которая является либо тузом, либо дамой.

Найдем число благоприятных исходов $m$. В стандартной колоде из 36 карт (от шестерки до туза) есть 4 масти. Соответственно, в колоде:

• 4 туза (по одному каждой масти).
• 4 дамы (по одной каждой масти).

События "вынуть туз" и "вынуть даму" являются несовместными, так как одна и та же карта не может быть одновременно и тузом, и дамой. Поэтому, чтобы найти общее число благоприятных исходов, мы должны сложить количество тузов и количество дам:

$m = 4 + 4 = 8$.

Теперь, когда у нас есть все необходимые данные, мы можем вычислить вероятность:

$P = \frac{m}{n} = \frac{8}{36}$.

Дробь $\frac{8}{36}$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$P = \frac{8 \div 4}{36 \div 4} = \frac{2}{9}$.

Таким образом, вероятность того, что наугад вынутая карта будет либо тузом, либо дамой, равна $\frac{2}{9}$.

Ответ: $\frac{2}{9}$

523. В пачке находится 12 билетов денежно-вещевой лотереи, 16 билетов спортивной лотереи и 20 билетов художественной лотереи. Какова вероятность того, что наудачу вынутый один билет будет билетом либо денежно-вещевой, либо художественной лотереи?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P(A)$ равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов $m$ к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов $n$. Формула выглядит следующим образом: $P(A) = \frac{m}{n}$.

1. Найдем общее число всех возможных исходов $n$. Это общее количество билетов в пачке. В пачке находятся 12 билетов денежно-вещевой лотереи, 16 билетов спортивной лотереи и 20 билетов художественной лотереи. Сложим количество всех билетов, чтобы найти общее число исходов:

$n = 12 + 16 + 20 = 48$

Таким образом, общее число элементарных исходов равно 48.

2. Далее найдем число благоприятствующих исходов $m$. Благоприятствующим исходом является событие, при котором вынутый билет оказывается либо билетом денежно-вещевой лотереи, либо билетом художественной лотереи. Количество билетов денежно-вещевой лотереи равно 12, а художественной — 20. Сложим количество этих билетов, так как события «вынуть билет денежно-вещевой лотереи» и «вынуть билет художественной лотереи» являются несовместными:

$m = 12 + 20 = 32$

Таким образом, число благоприятствующих исходов равно 32.

3. Теперь рассчитаем искомую вероятность, подставив найденные значения $m$ и $n$ в формулу:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{32}{48}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 32 и 48 равен 16:

$P(A) = \frac{32 \div 16}{48 \div 16} = \frac{2}{3}$

Следовательно, вероятность того, что наудачу вынутый билет будет билетом либо денежно-вещевой, либо художественной лотереи, равна $\frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

524. В ящике лежат 5 белых, 10 чёрных и 15 красных шаров.
Какова вероятность того, что наугад вынутый шар не будет белым? Решить задачу двумя способами.

Для решения задачи сначала определим общее количество шаров в ящике.

Всего шаров: $5$ белых + $10$ чёрных + $15$ красных = $30$ шаров.

Вероятность любого события $A$ вычисляется по классической формуле вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех возможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$. В нашем случае $n=30$.

Способ 1

Найдем вероятность события "вынутый шар не будет белым" прямым подсчетом.

Если шар не белый, значит, он либо чёрный, либо красный. Количество таких шаров (благоприятствующих исходов) равно:

$m = 10 (\text{чёрных}) + 15 (\text{красных}) = 25$.

Теперь можем вычислить вероятность. Общее число шаров $n=30$, а число шаров, которые не являются белыми, $m=25$.

$P(\text{не белый}) = \frac{m}{n} = \frac{25}{30}$

Сократим полученную дробь на 5:

$P(\text{не белый}) = \frac{25 \div 5}{30 \div 5} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

Способ 2

Воспользуемся свойством противоположных событий. Событие "вынутый шар не будет белым" (событие $A$) противоположно событию "вынутый шар будет белым" (событие $\bar{A}$).

Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1:

$P(A) + P(\bar{A}) = 1$

Следовательно, вероятность того, что шар не будет белым, можно найти по формуле:

$P(\text{не белый}) = 1 - P(\text{белый})$

Сначала вычислим вероятность того, что будет вынут белый шар. Количество белых шаров $m=5$. Общее число шаров $n=30$.

$P(\text{белый}) = \frac{5}{30}$

Сократим дробь на 5:

$P(\text{белый}) = \frac{5 \div 5}{30 \div 5} = \frac{1}{6}$

Теперь найдем искомую вероятность:

$P(\text{не белый}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

525. Вероятность выигрыша главного приза в некоторой лотерее (по одному билету) равна $10^{-8}$. Какова вероятность не выиграть главный приз, приобретая один билет этой лотереи?

Для решения этой задачи воспользуемся понятием противоположных событий в теории вероятностей.

Пусть событие A заключается в том, что по одному билету будет выигран главный приз. Вероятность этого события, согласно условию, равна:

$P(A) = 10^{-8}$

Событие B, заключающееся в том, что главный приз не будет выигран, является противоположным событию A. Сумма вероятностей двух противоположных событий всегда равна 1. Это можно записать в виде формулы:

$P(A) + P(B) = 1$

Чтобы найти вероятность не выиграть главный приз, $P(B)$, необходимо из единицы вычесть вероятность выигрыша $P(A)$:

$P(B) = 1 - P(A)$

Подставим известное значение вероятности выигрыша:

$P(B) = 1 - 10^{-8}$

Это уже является точным ответом. Для наглядности можно представить это число в виде десятичной дроби. Сначала запишем $10^{-8}$ в десятичном виде:

$10^{-8} = \frac{1}{10^8} = \frac{1}{100\ 000\ 000} = 0.00000001$

Теперь выполним вычитание:

$P(B) = 1 - 0.00000001 = 0.99999999$

Таким образом, вероятность не выиграть главный приз, приобретая один билет, очень близка к единице.

Ответ: $1 - 10^{-8}$ (или $0.99999999$).

526. Найти вероятность того, что наугад вынутая из полного набора домино (28 костей) одна кость не будет «дублем».

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события $P$ вычисляется по формуле:

$P = \frac{m}{n}$

где $n$ — общее число всех возможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Определим общее число исходов (n).

В условии сказано, что полный набор домино состоит из 28 костей. Следовательно, общее число возможных исходов при вытягивании одной кости равно 28. Таким образом, $n = 28$.

2. Определим число благоприятствующих исходов (m).

Благоприятствующим событием является вытягивание кости, которая не является «дублем».

Сначала найдем, сколько в наборе домино «дублей». «Дубль» — это кость, у которой количество очков на обеих половинках одинаково. В стандартном наборе домино (от 0 до 6 очков) дублями являются следующие кости:

• 0-0
• 1-1
• 2-2
• 3-3
• 4-4
• 5-5
• 6-6

Всего в наборе 7 дублей.

Теперь найдем количество костей, которые не являются дублями. Для этого нужно из общего числа костей вычесть количество дублей:

$m = 28 - 7 = 21$

Таким образом, число исходов, благоприятствующих событию (вытягивание кости, не являющейся дублем), равно 21.

3. Вычислим вероятность.

Подставим найденные значения $n=28$ и $m=21$ в формулу вероятности:

$P = \frac{m}{n} = \frac{21}{28}$

Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 7:

$P = \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac{3}{4}$

Вероятность можно также выразить в виде десятичной дроби: $0.75$.

Ответ: $\frac{3}{4}$