Страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

519. В лотерее участвует 15 билетов, среди которых 3 выигрышных. Наугад вынуты 2 билета. Какова вероятность того, что:

1) оба вынутых билета выигрышные;

2) только один билет выигрышный;

3) выигрышного билета не оказалось?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.

В лотерее участвует 15 билетов, из которых 3 выигрышных и $15 - 3 = 12$ невыигрышных. Наугад вынимают 2 билета. Общее число способов выбрать 2 билета из 15 равно числу сочетаний из 15 по 2:

$n = C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15!}{2! \cdot 13!} = \frac{14 \cdot 15}{2 \cdot 1} = 105$.

Таким образом, общее число равновозможных исходов $n=105$.

1) оба вынутых билета выигрышные

Событие заключается в том, что из 3 выигрышных билетов выбрано 2. Число благоприятствующих этому событию исходов $m_1$ равно числу способов выбрать 2 выигрышных билета из 3:

$m_1 = C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3$.

Вероятность того, что оба билета выигрышные, равна:

$P_1 = \frac{m_1}{n} = \frac{3}{105} = \frac{1}{35}$.

Ответ: $\frac{1}{35}$

2) только один билет выигрышный

Это событие означает, что был выбран 1 выигрышный билет и 1 невыигрышный. Число способов выбрать 1 выигрышный билет из 3 равно $C_3^1$. Число способов выбрать 1 невыигрышный билет из 12 равно $C_{12}^1$.

Число благоприятствующих исходов $m_2$ по правилу произведения равно:

$m_2 = C_3^1 \cdot C_{12}^1 = \frac{3!}{1! \cdot 2!} \cdot \frac{12!}{1! \cdot 11!} = 3 \cdot 12 = 36$.

Вероятность того, что только один билет выигрышный, равна:

$P_2 = \frac{m_2}{n} = \frac{36}{105} = \frac{12}{35}$.

Ответ: $\frac{12}{35}$

3) выигрышного билета не оказалось

Это событие означает, что оба выбранных билета — невыигрышные. Число благоприятствующих исходов $m_3$ равно числу способов выбрать 2 невыигрышных билета из 12:

$m_3 = C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{11 \cdot 12}{2} = 66$.

Вероятность того, что выигрышного билета не оказалось, равна:

$P_3 = \frac{m_3}{n} = \frac{66}{105} = \frac{22}{35}$.

Ответ: $\frac{22}{35}$

520. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой игральной кости число очков будет больше, чем на второй?

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности. Вероятность события вычисляется по формуле $P = \frac{M}{N}$, где $N$ — это общее число всех возможных элементарных исходов, а $M$ — число исходов, благоприятствующих данному событию.

При бросании двух игральных костей каждая из них может выпасть одной из шести граней (от 1 до 6). Общее число всех возможных комбинаций выпавших очков равно произведению числа возможных исходов для каждой кости: $N = 6 \times 6 = 36$.

Нам нужно найти вероятность события, при котором число очков на первой кости (обозначим его $k_1$) будет больше, чем число очков на второй кости (обозначим его $k_2$). То есть, мы ищем вероятность выполнения условия $k_1 > k_2$.

Все 36 возможных исходов можно разделить на три непересекающихся случая: 1) число очков на первой кости больше, чем на второй ($k_1 > k_2$); 2) число очков на второй кости больше, чем на первой ($k_1 < k_2$); 3) числа очков на обеих костях равны ($k_1 = k_2$).

Сначала найдем число исходов, когда на обеих костях выпадает одинаковое количество очков ($k_1 = k_2$). Это следующие пары: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6). Таких исходов 6.

Оставшееся количество исходов, когда числа очков не равны, составляет $36 - 6 = 30$.

Эти 30 исходов делятся поровну между двумя оставшимися случаями: $k_1 > k_2$ и $k_1 < k_2$. Это следует из симметрии: для каждой пары $(a, b)$, где $a \ne b$, существует и пара $(b, a)$. В одной из них первое число больше, а в другой — второе. Поэтому число исходов, когда очки на первой кости больше, чем на второй, равно половине от 30.

Число благоприятных исходов $M$ равно: $M = \frac{36 - 6}{2} = \frac{30}{2} = 15$.

Теперь можно вычислить искомую вероятность: $P(k_1 > k_2) = \frac{M}{N} = \frac{15}{36}$.

Сократив дробь на 3, получим окончательный результат: $P = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{12}$

521. Имеются две урны: первая содержит 1 белый, 3 чёрных и 4 красных шара, вторая — 3 белых, 2 чёрных и 3 красных шара. Из каждой урны наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что цвета вынутых шаров совпадут.

Для того чтобы цвета вынутых шаров совпали, необходимо, чтобы из обеих урн были извлечены либо два белых шара, либо два чёрных, либо два красных. Эти три события являются несовместными, поэтому искомая вероятность будет равна сумме их вероятностей.

Сначала определим общее количество шаров в каждой урне.

В первой урне находится: $1 \text{ белый} + 3 \text{ чёрных} + 4 \text{ красных} = 8$ шаров.

Во второй урне находится: $3 \text{ белых} + 2 \text{ чёрных} + 3 \text{ красных} = 8$ шаров.

Теперь рассчитаем вероятность для каждого случая совпадения цветов. Так как выбор шара из каждой урны — это независимые события, их вероятности перемножаются.

1. Вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Вероятность вынуть белый шар из первой урны: $P_{1Б} = \frac{1}{8}$.

Вероятность вынуть белый шар из второй урны: $P_{2Б} = \frac{3}{8}$.

Вероятность того, что оба шара белые: $P(ББ) = P_{1Б} \cdot P_{2Б} = \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{64}$.

2. Вероятность того, что оба шара окажутся чёрными.

Вероятность вынуть чёрный шар из первой урны: $P_{1Ч} = \frac{3}{8}$.

Вероятность вынуть чёрный шар из второй урны: $P_{2Ч} = \frac{2}{8}$.

Вероятность того, что оба шара чёрные: $P(ЧЧ) = P_{1Ч} \cdot P_{2Ч} = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{8} = \frac{6}{64}$.

3. Вероятность того, что оба шара окажутся красными.

Вероятность вынуть красный шар из первой урны: $P_{1К} = \frac{4}{8}$.

Вероятность вынуть красный шар из второй урны: $P_{2К} = \frac{3}{8}$.

Вероятность того, что оба шара красные: $P(КК) = P_{1К} \cdot P_{2К} = \frac{4}{8} \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{64}$.

Суммарная вероятность того, что цвета вынутых шаров совпадут, равна сумме вероятностей этих трёх несовместных событий:

$P(\text{совпадение}) = P(ББ) + P(ЧЧ) + P(КК) = \frac{3}{64} + \frac{6}{64} + \frac{12}{64} = \frac{3+6+12}{64} = \frac{21}{64}$.

Ответ: $\frac{21}{64}$