Номер 536, страница 209 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 3. Условная вероятность. Независимость событий. Глава 6. Элементы теории вероятностей - номер 536, страница 209.

Условие.

536. В букете—10 гвоздик и 5 нарциссов. Оля и Таня случайным образом поочереди вынимают из букета по одному цветку. Какова вероятность того, что Оля вынула гвоздику, а Таня — нарцисс? (Решить задачу разными способами.)

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Всего в букете находится $10 + 5 = 15$ цветов. Задача состоит в том, чтобы найти вероятность последовательного наступления двух событий: Оля вынимает гвоздику, а затем Таня вынимает нарцисс. Так как цветы не возвращаются в букет, эти события являются зависимыми.

Способ 1: Использование теоремы умножения вероятностей

Этот метод заключается в последовательном расчете вероятности каждого события.

1. Вероятность того, что Оля вынет гвоздику. Обозначим это событие как A. В букете 15 цветов, из которых 10 — гвоздики. Вероятность этого события равна:

$P(A) = \frac{\text{число гвоздик}}{\text{общее число цветов}} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

2. После того как Оля вынула одну гвоздику, в букете осталось $15 - 1 = 14$ цветов. Количество гвоздик стало $10 - 1 = 9$, а количество нарциссов осталось прежним — 5.

3. Вероятность того, что Таня после этого вынет нарцисс. Обозначим это событие как B. Вероятность события B при условии, что событие A уже произошло, равна:

$P(B|A) = \frac{\text{число нарциссов}}{\text{оставшееся число цветов}} = \frac{5}{14}$

4. Вероятность того, что оба события произойдут последовательно, находится как произведение вероятности первого события на условную вероятность второго:

$P(\text{Оля - гвоздика, Таня - нарцисс}) = P(A) \times P(B|A) = \frac{10}{15} \times \frac{5}{14} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{14} = \frac{10}{42} = \frac{5}{21}$

Ответ: $\frac{5}{21}$

Способ 2: Использование формул комбинаторики (классическое определение вероятности)

Вероятность события можно найти как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

1. Найдем общее число всех возможных исходов (N). Оля и Таня поочередно вынимают 2 цветка из 15. Так как порядок, в котором извлекаются цветы, важен (первый цветок для Оли, второй для Тани), мы используем формулу для нахождения числа размещений из n элементов по k:

$N = A_{15}^2 = \frac{15!}{(15-2)!} = 15 \times 14 = 210$

Таким образом, существует 210 различных упорядоченных пар цветов, которые могут вынуть девочки.

2. Найдем число благоприятных исходов (M). Благоприятный исход — это когда первый вынутый цветок (Олин) является гвоздикой, а второй (Танин) — нарциссом.

Число способов выбрать 1 гвоздику из 10 для Оли равно 10.

Число способов выбрать 1 нарцисс из 5 для Тани равно 5.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число благоприятных исходов равно:

$M = 10 \times 5 = 50$

3. Вычислим искомую вероятность как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{M}{N} = \frac{50}{210} = \frac{5}{21}$

Ответ: $\frac{5}{21}$