Номер 533, страница 208 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Параграф 3. Условная вероятность. Независимость событий - номер 533, страница 208.

Условие.

533. Из ящика, содержащего 4 белых и 5 красных шаров, 2 раза наугад извлекают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность того, что:

1) вторым извлечён красный шар при условии, что первым также оказался красный шар;

2) оба раза извлекались красные шары.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

В ящике находится $4$ белых и $5$ красных шаров, всего $4 + 5 = 9$ шаров. Извлечение происходит без возвращения, что означает, что после извлечения первого шара общее количество шаров и количество шаров определенного цвета уменьшается.

1) вторым извлечён красный шар при условии, что первым также оказался красный шар;

Это задача на условную вероятность. Обозначим события:
A – «первым извлечён красный шар».
B – «вторым извлечён красный шар».

Нам необходимо найти вероятность события B при условии, что событие A уже произошло, то есть $P(B|A)$.

Поскольку событие A (первым извлечён красный шар) уже наступило, состав шаров в ящике изменился. Изначально было 9 шаров (5 красных и 4 белых). После извлечения одного красного шара в ящике осталось:

• Общее количество шаров: $9 - 1 = 8$
• Количество красных шаров: $5 - 1 = 4$
• Количество белых шаров: $4$ (не изменилось)

Теперь вероятность извлечь вторым красный шар (событие B) из этого нового набора шаров равна отношению числа оставшихся красных шаров к общему числу оставшихся шаров.

$P(B|A) = \frac{\text{число оставшихся красных шаров}}{\text{общее число оставшихся шаров}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) оба раза извлекались красные шары.

Это событие означает, что и первый шар был красным, и второй шар был красным. Вероятность этого сложного события равна произведению вероятностей двух зависимых событий: вероятности того, что первый шар красный, и условной вероятности того, что второй шар красный, при условии, что первый уже был красным.

$P(\text{оба красные}) = P(\text{первый красный}) \cdot P(\text{второй красный | первый красный})$

Вероятность того, что первый извлечённый шар будет красным, составляет:
$P(\text{первый красный}) = \frac{\text{число красных шаров}}{\text{общее число шаров}} = \frac{5}{9}$

Вероятность того, что второй шар будет красным, при условии, что первый был красным, мы уже вычислили в пункте 1:
$P(\text{второй красный | первый красный}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Теперь, чтобы найти вероятность того, что оба шара красные, перемножим эти две вероятности:
$P(\text{оба красные}) = \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{8} = \frac{5 \cdot 4}{9 \cdot 8} = \frac{20}{72}$

Сократим полученную дробь:
$\frac{20}{72} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

Ответ: $\frac{5}{18}$