Номер 527, страница 204 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Параграф 2. Сложение вероятностей - номер 527, страница 204.

Условие.

527. В вазе стоят 4 белые и 7 красных астр. Какова вероятность того, что среди случайным образом вынутых из вазы трёх цветков окажется по крайней мере одна белая астра?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

В вазе находится $4$ белые и $7$ красных астр, то есть всего $4 + 7 = 11$ цветков. Нам нужно найти вероятность того, что среди трёх случайным образом вынутых цветков окажется по крайней мере одна белая астра.

Эту задачу удобнее решать через нахождение вероятности противоположного события. Обозначим искомое событие как A: "среди трёх вынутых цветков есть хотя бы одна белая астра". Тогда противоположное ему событие A' будет: "среди трёх вынутых цветков нет ни одной белой", то есть все три вынутых цветка — красные. Вероятность искомого события A можно будет найти по формуле $P(A) = 1 - P(A')$.

1. Найдём общее число исходов.
Общее число способов выбрать 3 цветка из 11 имеющихся равно числу сочетаний из 11 по 3. Это общее число всех возможных элементарных исходов $N$.$N = C_{11}^3 = \frac{11!}{3!(11-3)!} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot 5 \cdot 3 = 165$

2. Найдём число исходов, благоприятствующих событию A'.
Событие A' (все три цветка красные) наступает, если мы выбираем 3 цветка из 7 красных астр. Число таких способов $m$ равно числу сочетаний из 7 по 3.$m = C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$

3. Найдём вероятность события A'.
Вероятность того, что все три вынутых цветка будут красными, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$P(A') = \frac{m}{N} = \frac{35}{165}$
Сократим эту дробь на 5:$P(A') = \frac{35 \div 5}{165 \div 5} = \frac{7}{33}$

4. Найдём вероятность искомого события A.
Теперь мы можем найти вероятность того, что среди трёх цветков будет по крайней мере одна белая астра:$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{7}{33} = \frac{33}{33} - \frac{7}{33} = \frac{26}{33}$

Ответ: $\frac{26}{33}$