Номер 529, страница 204 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Параграф 2. Сложение вероятностей - номер 529, страница 204.

Условие.

529. Вероятность поражения мишени при первом выстреле равна $0,7$. Вероятность поражения мишени при втором выстреле равна $0,8$. Вероятность поражения мишени и при первом, и при втором выстрелах равна $0,56$. Найти вероятность того, что:

1) мишень будет поражена хотя бы одним выстрелом;

2) мишень не будет поражена ни одним из выстрелов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим события:

• $A$ - поражение мишени при первом выстреле.
• $B$ - поражение мишени при втором выстреле.

Из условия задачи известны следующие вероятности:

• Вероятность поражения при первом выстреле: $P(A) = 0,7$.
• Вероятность поражения при втором выстреле: $P(B) = 0,8$.
• Вероятность поражения и при первом, и при втором выстреле (совместное событие): $P(A \cap B) = 0,56$.

1) мишень будет поражена хотя бы одним выстрелом;

Событие "мишень поражена хотя бы одним выстрелом" означает, что произошло или событие $A$, или событие $B$, или оба вместе. Это соответствует объединению событий $A$ и $B$, то есть событию $A \cup B$.

Вероятность объединения двух событий вычисляется по формуле сложения вероятностей:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Подставим известные значения в формулу:

$P(A \cup B) = 0,7 + 0,8 - 0,56 = 1,5 - 0,56 = 0,94$

Ответ: $0,94$

2) мишень не будет поражена ни одним из выстрелов.

Событие "мишень не будет поражена ни одним из выстрелов" является противоположным (дополнительным) событию "мишень будет поражена хотя бы одним выстрелом", вероятность которого мы нашли в пункте 1.

Если $C = A \cup B$ - событие "поражена хотя бы одним выстрелом", то $\bar{C}$ - событие "не поражена ни одним выстрелом". Вероятность противоположного события равна:

$P(\bar{C}) = 1 - P(C)$

Подставим значение, найденное в пункте 1:

$P(\bar{C}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0,94 = 0,06$

Другой способ решения:

Событие "мишень не поражена ни одним из выстрелов" означает, что произошел промах при первом выстреле (событие $\bar{A}$) и промах при втором выстреле (событие $\bar{B}$).

Найдем вероятности промахов:

Вероятность промаха при первом выстреле: $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,7 = 0,3$.

Вероятность промаха при втором выстреле: $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$.

События $A$ и $B$ являются независимыми, так как $P(A \cap B) = 0,56 = 0,7 \cdot 0,8 = P(A) \cdot P(B)$. Следовательно, их противоположные события $\bar{A}$ и $\bar{B}$ также независимы. Вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей:

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0,3 \cdot 0,2 = 0,06$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $0,06$