Номер 578, страница 217 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражения к главе VI. Глава 6. Элементы теории вероятностей - номер 578, страница 217.

Условие.

578. Игральный кубик бросают 5 раз. Какова вероятность того, что одно очко появится:

1) ровно 2 раза;

2) ровно 3 раза;

3) не более 2 раз;

4) не менее 4 раз?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Это задача на использование формулы Бернулли для серии независимых испытаний. Пусть $n$ - общее число испытаний (бросков кубика), $k$ - число "успехов" (выпадений одного очка), $p$ - вероятность "успеха" в одном испытании, а $q$ - вероятность "неудачи".

В данном случае:
Число бросков $n = 5$.
"Успех" - это выпадение одного очка. Вероятность успеха в одном броске $p = \frac{1}{6}$.
"Неудача" - это выпадение любого другого числа очков. Вероятность неудачи $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - это число сочетаний из $n$ по $k$.

1) ровно 2 раза;
Ищем вероятность того, что одно очко выпадет ровно $k=2$ раза при $n=5$ бросках. Используем формулу Бернулли:
$P_5(2) = C_5^2 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^{5-2}$.
Вычислим число сочетаний: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{4 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 10$.
Подставляем значения в формулу: $P_5(2) = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $P_5(2) = \frac{625}{3888}$.
Ответ: $ \frac{625}{3888} $.

2) ровно 3 раза;
Ищем вероятность того, что одно очко выпадет ровно $k=3$ раза.
$P_5(3) = C_5^3 \cdot (\frac{1}{6})^3 \cdot (\frac{5}{6})^{5-3}$.
Число сочетаний: $C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{4 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 10$.
Подставляем значения: $P_5(3) = 10 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{25}{36} = \frac{250}{7776}$.
Сократим дробь на 2: $P_5(3) = \frac{125}{3888}$.
Ответ: $ \frac{125}{3888} $.

3) не более 2 раз;
Событие "не более 2 раз" означает, что одно очко выпадет 0, 1 или 2 раза. Это сумма вероятностей трех несовместных событий: $P(k \le 2) = P_5(0) + P_5(1) + P_5(2)$.
Вероятность $P_5(2)$ мы уже нашли: $P_5(2) = \frac{1250}{7776}$.
Найдем $P_5(0)$ и $P_5(1)$.
Для $k=0$: $P_5(0) = C_5^0 \cdot (\frac{1}{6})^0 \cdot (\frac{5}{6})^5 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3125}{7776} = \frac{3125}{7776}$.
Для $k=1$: $P_5(1) = C_5^1 \cdot (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^4 = 5 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{625}{1296} = \frac{3125}{7776}$.
Теперь сложим вероятности: $P(k \le 2) = \frac{3125}{7776} + \frac{3125}{7776} + \frac{1250}{7776} = \frac{3125+3125+1250}{7776} = \frac{7500}{7776}$.
Сократим дробь (можно разделить числитель и знаменатель на 12): $P(k \le 2) = \frac{7500 \div 12}{7776 \div 12} = \frac{625}{648}$.
Ответ: $ \frac{625}{648} $.

4) не менее 4 раз?
Событие "не менее 4 раз" означает, что одно очко выпадет 4 или 5 раз. Это сумма вероятностей двух событий: $P(k \ge 4) = P_5(4) + P_5(5)$.
Найдем эти вероятности.
Для $k=4$: $P_5(4) = C_5^4 \cdot (\frac{1}{6})^4 \cdot (\frac{5}{6})^1 = 5 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{7776}$.
Для $k=5$: $P_5(5) = C_5^5 \cdot (\frac{1}{6})^5 \cdot (\frac{5}{6})^0 = 1 \cdot \frac{1}{7776} \cdot 1 = \frac{1}{7776}$.
Сложим вероятности: $P(k \ge 4) = \frac{25}{7776} + \frac{1}{7776} = \frac{26}{7776}$.
Сократим дробь на 2: $P(k \ge 4) = \frac{13}{3888}$.
Ответ: $ \frac{13}{3888} $.