Номер 566, страница 216 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 6. Элементы теории вероятностей. Упражения к главе VI - номер 566, страница 216.

Условие.

566. Брошены три монеты. Найти вероятность того, что выпало не более двух орлов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи определим общее число возможных исходов и число исходов, благоприятствующих событию.

При броске одной монеты есть два равновероятных исхода: орел (О) или решка (Р). Когда бросают три монеты, общее число всех возможных элементарных исходов равно $N = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$.

Перечислим все возможные комбинации выпадения орлов и решек для трех монет:

1. О, О, О (три орла)
2. О, О, Р (два орла)
3. О, Р, О (два орла)
4. Р, О, О (два орла)
5. О, Р, Р (один орел)
6. Р, О, Р (один орел)
7. Р, Р, О (один орел)
8. Р, Р, Р (ноль орлов)

Событие A, вероятность которого нам нужно найти, заключается в том, что "выпало не более двух орлов". Это означает, что количество орлов, выпавших на трех монетах, должно быть равно 0, 1 или 2.

Рассмотрим два способа решения.

Способ 1: Прямой подсчет благоприятных исходов

Найдем количество исходов ($m$), которые удовлетворяют условию "не более двух орлов":

• 0 орлов: РРР - 1 исход.
• 1 орел: ОРР, РОР, РРО - 3 исхода.
• 2 орла: ООР, ОРО, РОО - 3 исхода.

Суммарное число благоприятных исходов: $m = 1 + 3 + 3 = 7$.

Вероятность события A вычисляется по классической формуле вероятности как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{7}{8}$

Способ 2: Использование противоположного события

Противоположное событие A' для нашего события A ("выпало не более двух орлов") — это событие, при котором "выпало более двух орлов". При трех бросках это означает, что "выпало ровно три орла".

Из всех восьми возможных исходов этому условию удовлетворяет только один: О, О, О.

Вероятность противоположного события A' равна:

$P(A') = \frac{1}{8}$

Сумма вероятностей прямого и противоположного событий всегда равна 1, то есть $P(A) + P(A') = 1$. Отсюда можем найти искомую вероятность:

$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{1}{8} = \frac{8}{8} - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Оба способа дают один и тот же результат.

Ответ: $\frac{7}{8}$