Номер 518, страница 200 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Параграф 1. Вероятность события. Глава 6. Элементы теории вероятностей - номер 518, страница 200.

Условие.

518. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что:

1) сумма очков, выпавших на обеих костях, есть число нечётное;

2) произведение очков, выпавших на обеих костях, есть число чётное;

3) сумма выпавших очков больше 6?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

При броске двух стандартных шестигранных игральных костей общее число всех возможных равновероятных исходов составляет $N = 6 \times 6 = 36$. Каждый исход можно представить в виде упорядоченной пары чисел $(d_1, d_2)$, где $d_1$ — количество очков, выпавших на первой кости, а $d_2$ — на второй.

1) сумма очков, выпавших на обеих костях, есть число нечётное

Сумма двух целых чисел является нечётной тогда и только тогда, когда одно из чисел чётное, а другое — нечётное. На каждой игральной кости 3 чётных грани ({2, 4, 6}) и 3 нечётных грани ({1, 3, 5}).

Рассмотрим два взаимоисключающих случая, приводящих к нечётной сумме:

1. На первой кости выпало нечётное число (3 варианта), а на второй — чётное (3 варианта). Число таких исходов равно $3 \times 3 = 9$.
2. На первой кости выпало чётное число (3 варианта), а на второй — нечётное (3 варианта). Число таких исходов равно $3 \times 3 = 9$.

Общее число благоприятных исходов $m$ для этого события равно сумме исходов в этих двух случаях: $m = 9 + 9 = 18$.

Вероятность $P$ события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P = \frac{m}{N} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) произведение очков, выпавших на обеих костях, есть число чётное

Произведение двух целых чисел является чётным, если хотя бы один из сомножителей чётный. Удобнее найти вероятность противоположного события — когда произведение нечётно, — а затем вычесть её из единицы.

Произведение нечётно только в том случае, если оба сомножителя нечётны. Количество нечётных исходов для первой кости равно 3, и для второй — также 3. Следовательно, число исходов, при которых на обеих костях выпадают нечётные числа, равно $m_{нечёт} = 3 \times 3 = 9$.

Вероятность того, что произведение будет нечётным, составляет: $P_{нечёт} = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$

Событие "произведение чётно" является противоположным к событию "произведение нечётно", поэтому его вероятность равна: $P_{чёт} = 1 - P_{нечёт} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

3) сумма выпавших очков больше 6

Найдём количество исходов, при которых сумма очков $S$ на двух костях строго больше 6. Для этого перечислим все комбинации, удовлетворяющие этому условию, сгруппировав их по значению суммы:

• $S=7$: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — 6 исходов.
• $S=8$: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) — 5 исходов.
• $S=9$: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) — 4 исхода.
• $S=10$: (4,6), (5,5), (6,4) — 3 исхода.
• $S=11$: (5,6), (6,5) — 2 исхода.
• $S=12$: (6,6) — 1 исход.

Общее число благоприятных исходов $m$ равно сумме количеств исходов для каждой суммы: $m = 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$.

Вероятность $P$ этого события: $P = \frac{m}{N} = \frac{21}{36}$

Сократим полученную дробь на 3: $P = \frac{7}{12}$

Ответ: $\frac{7}{12}$