Номер 1, страница 192 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Проверь себя! - номер 1, страница 192.

Условие.

1. Найти:

1) $P_7$; 2) $A_8^3$; 3) $C_8^3$; 4) $\frac{P_6}{A_7^5}$.

2. Упростить:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)
Число перестановок из $n$ элементов $P_n$ (количество способов, которыми можно упорядочить множество из $n$ элементов) вычисляется по формуле $P_n = n!$ (читается как "эн факториал").
Для $n=7$ имеем:
$P_7 = 7! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 5040$.
Ответ: $5040$.

2)
Число размещений из $n$ элементов по $k$ $A_n^k$ (количество способов выбрать и упорядочить $k$ элементов из множества $n$ элементов) вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Для $n=8$ и $k=3$ имеем:
$A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$.
Ответ: $336$.

3)
Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ $C_n^k$ (количество способов выбрать $k$ элементов из множества $n$ элементов без учета порядка) вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Для $n=8$ и $k=3$ имеем:
$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{ (3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 8 \cdot 7 = 56$.
Ответ: $56$.

4)
Для вычисления значения выражения $\frac{P_6}{A_7^5}$ воспользуемся определениями числа перестановок и числа размещений.
$P_6 = 6!$
$A_7^5 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!}$
Теперь подставим эти выражения в исходную дробь и упростим:
$\frac{P_6}{A_7^5} = \frac{6!}{\frac{7!}{2!}} = \frac{6! \cdot 2!}{7!} = \frac{6! \cdot 2!}{7 \cdot 6!}$
Сократим $6!$ в числителе и знаменателе:
$\frac{2!}{7} = \frac{2 \cdot 1}{7} = \frac{2}{7}$.
Ответ: $\frac{2}{7}$.