Страница 185 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

445. Найти:

1) $C_6^2$; 2) $C_8^3$; 3) $C_8^6$; 4) $C_8^5$; 5) $C_9^1$; 6) $C_9^8$;

7) $C_{10}^{10}$; 8) $C_{10}^0$; 9) $C_{10}^3$; 10) $C_{10}^7$; 11) $C_{100}^{98}$; 12) $C_{70}^2$.

Для решения данных задач используется формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$, которое обозначается как $C_n^k$ (или $\binom{n}{k}$):

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Здесь $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. По определению, $0! = 1$.

Также полезно использовать следующие свойства сочетаний для упрощения вычислений:
• $C_n^k = C_n^{n-k}$
• $C_n^0 = 1$
• $C_n^n = 1$
• $C_n^1 = n$

1) $C_6^2$
Применяем формулу для числа сочетаний при $n=6$ и $k=2$:
$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2 \times 1 \times 4!} = \frac{6 \times 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$.
Ответ: 15

2) $C_8^3$
Применяем формулу при $n=8$ и $k=3$:
$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3 \times 2 \times 1 \times 5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56$.
Ответ: 56

3) $C_8^6$
Используем свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$:
$C_8^6 = C_8^{8-6} = C_8^2$.
Теперь вычисляем $C_8^2$:
$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{2 \times 1 \times 6!} = \frac{8 \times 7}{2} = \frac{56}{2} = 28$.
Ответ: 28

4) $C_8^5$
Используем свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$:
$C_8^5 = C_8^{8-5} = C_8^3$.
Значение $C_8^3$ было найдено в пункте 2):
$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
Ответ: 56

5) $C_9^1$
Используем свойство $C_n^1 = n$:
$C_9^1 = 9$.
Ответ: 9

6) $C_9^8$
Используем свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$:
$C_9^8 = C_9^{9-8} = C_9^1$.
Из предыдущего пункта известно, что $C_9^1 = 9$.
Ответ: 9

7) $C_{10}^{10}$
Используем свойство $C_n^n = 1$:
$C_{10}^{10} = 1$.
Ответ: 1

8) $C_{10}^0$
Используем свойство $C_n^0 = 1$ (так как $0!=1$):
$C_{10}^0 = 1$.
Ответ: 1

9) $C_{10}^3$
Применяем формулу при $n=10$ и $k=3$:
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3 \times 2 \times 1 \times 7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{6} = 10 \times 3 \times 4 / 2 \times 1 = 10 \times 12 = 120$.
Ответ: 120

10) $C_{10}^7$
Используем свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$:
$C_{10}^7 = C_{10}^{10-7} = C_{10}^3$.
Значение $C_{10}^3$ было найдено в пункте 9):
$C_{10}^3 = 120$.
Ответ: 120

11) $C_{100}^{98}$
Используем свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$ для упрощения:
$C_{100}^{98} = C_{100}^{100-98} = C_{100}^2$.
Теперь вычисляем $C_{100}^2$:
$C_{100}^2 = \frac{100!}{2!(100-2)!} = \frac{100!}{2!98!} = \frac{100 \times 99 \times 98!}{2 \times 1 \times 98!} = \frac{100 \times 99}{2} = 50 \times 99 = 4950$.
Ответ: 4950

12) $C_{70}^2$
Применяем формулу при $n=70$ и $k=2$:
$C_{70}^2 = \frac{70!}{2!(70-2)!} = \frac{70!}{2!68!} = \frac{70 \times 69 \times 68!}{2 \times 1 \times 68!} = \frac{70 \times 69}{2} = 35 \times 69 = 2415$.
Ответ: 2415

446. Сколькими способами можно делегировать троих студентов на межвузовскую конференцию из 9 членов научного общества?

В данной задаче нам необходимо выбрать 3 студентов из 9. Поскольку порядок выбора студентов для делегации не имеет значения (делегация из студентов А, Б, В — это та же самая делегация, что и В, А, Б), мы должны использовать формулу для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество студентов (членов научного общества) $n = 9$, а количество студентов, которых нужно выбрать, $k = 3$.

Подставим значения в формулу:

$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!}$

Распишем факториалы для вычисления:

$C_9^3 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)}$

Сократим $6!$ в числителе и знаменателе:

$C_9^3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = \frac{504}{6} = 84$

Следовательно, существует 84 способа делегировать троих студентов из девяти.

Ответ: 84.

447. Сколько различных аккордов, содержащих 3 звука, можно взять на 13 клавишах одной октавы?

Для решения этой задачи необходимо найти количество способов выбрать 3 различные клавиши из 13 доступных. Поскольку порядок нажатия клавиш в аккорде не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ определяется формулой:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае:
- общее количество клавиш $n = 13$.
- количество звуков (клавиш) в аккорде $k = 3$.

Подставляем эти значения в формулу:

$C_{13}^3 = \frac{13!}{3!(13-3)!} = \frac{13!}{3! \cdot 10!}$

Распишем факториалы и произведем сокращение:

$C_{13}^3 = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10!}{(3 \times 2 \times 1) \times 10!} = \frac{13 \times 12 \times 11}{6}$

Теперь выполним вычисления:

$C_{13}^3 = 13 \times \frac{12}{6} \times 11 = 13 \times 2 \times 11 = 286$

Таким образом, на 13 клавишах можно взять 286 различных аккордов, содержащих 3 звука.

Ответ: 286.