Номер 503, страница 191 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 503, страница 191.

503. Найти член разложения бинома $\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{14}$, содержащий $x^4$.

Для решения задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона для общего члена разложения $(a+b)^n$:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$

где $T_{k+1}$ — это $(k+1)$-й член разложения, а $C_n^k$ — биномиальный коэффициент, равный $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В нашем случае бином имеет вид $(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}})^{14}$. Определим его компоненты:

$a = \sqrt{x} = x^{1/2}$

$b = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$

$n = 14$

Подставим эти значения в формулу для общего члена разложения:

$T_{k+1} = C_{14}^k (\sqrt{x})^{14-k} (\frac{1}{\sqrt{x}})^k$

Теперь упростим выражение, объединив степени переменной $x$:

$T_{k+1} = C_{14}^k (x^{1/2})^{14-k} (x^{-1/2})^k = C_{14}^k x^{\frac{1}{2}(14-k)} x^{-\frac{1}{2}k}$

Применяя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, получим:

$T_{k+1} = C_{14}^k x^{\frac{14-k}{2} - \frac{k}{2}} = C_{14}^k x^{\frac{14-2k}{2}} = C_{14}^k x^{7-k}$

Согласно условию, нам нужно найти член разложения, содержащий $x^4$. Это означает, что показатель степени у $x$ должен быть равен 4. Составим и решим уравнение:

$7 - k = 4$

$k = 7 - 4$

$k = 3$

Мы нашли, что искомый член соответствует значению $k=3$. Это будет $(3+1)$-й, то есть 4-й член разложения. Теперь найдем его, подставив $k=3$ в полученную формулу $T_{k+1} = C_{14}^k x^{7-k}$:

$T_{3+1} = T_4 = C_{14}^3 x^{7-3} = C_{14}^3 x^4$

Осталось вычислить биномиальный коэффициент $C_{14}^3$:

$C_{14}^3 = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14!}{3! \cdot 11!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 14 \cdot 13 \cdot \frac{12}{6} = 14 \cdot 13 \cdot 2 = 364$

Таким образом, член разложения, содержащий $x^4$, равен $364x^4$.

Ответ: $364x^4$