Номер 492, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Упражнения к главе V - номер 492, страница 190.

Условие.

492. Сколько различных делителей у числа:

1) 100;

2) 1000?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы найти количество различных делителей числа, необходимо сначала разложить это число на простые множители. Если каноническое разложение числа $N$ на простые множители имеет вид $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k}$, то количество его натуральных делителей, обозначаемое как $d(N)$, вычисляется по формуле: $d(N) = (a_1 + 1)(a_2 + 1)\dots(a_k + 1)$.

1) Найдем количество различных делителей у числа 100.

Сначала разложим число 100 на простые множители:

$100 = 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5^2$.

В этом разложении простые множители — это 2 и 5, а их степени — $a_1 = 2$ и $a_2 = 2$.

Теперь, используя формулу, вычислим количество делителей:

$d(100) = (2 + 1)(2 + 1) = 3 \cdot 3 = 9$.

Для проверки можем перечислить все делители: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100. Всего их 9.

Ответ: 9

2) Найдем количество различных делителей у числа 1000.

Разложим число 1000 на простые множители:

$1000 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 5^3$.

Простые множители здесь — 2 и 5, а их степени — $a_1 = 3$ и $a_2 = 3$.

Применим формулу для нахождения количества делителей:

$d(1000) = (3 + 1)(3 + 1) = 4 \cdot 4 = 16$.

Таким образом, у числа 1000 имеется 16 различных делителей.

Ответ: 16