Номер 483, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 483, страница 190.

Условие.

483. Доказать, что число перестановок при любом $n > 1$ является чётным числом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Требуется доказать, что число перестановок из $n$ элементов является чётным при любом целом $n > 1$.

Число перестановок из $n$ различных элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле n-факториал: $P_n = n!$

Факториал числа $n$ представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n-1) \cdot n$

Чётным называется целое число, которое делится на 2 без остатка.

Согласно условию задачи, мы рассматриваем случаи, когда $n > 1$. Поскольку $n$ — это количество элементов, оно является целым числом. Следовательно, мы рассматриваем $n \ge 2$.

Рассмотрим произведение, определяющее $n!$ для любого $n \ge 2$: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$

Поскольку $n \ge 2$, в этом произведении всегда будет присутствовать множитель 2. Любое целое число, в разложении которого на простые множители есть число 2, является чётным.

Мы можем формально представить $n!$ как $2 \cdot k$, где $k$ — целое число. $n! = 2 \cdot (1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots \cdot n)$ Произведение в скобках $(1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \dots \cdot n)$ является произведением целых чисел, и его результат — также целое число.

Так как $n!$ можно представить в виде произведения числа 2 на другое целое число, то $n!$ по определению является чётным числом при любом $n > 1$.

Например:

• При $n=2$, число перестановок $P_2 = 2! = 1 \cdot 2 = 2$, что является чётным числом.
• При $n=3$, число перестановок $P_3 = 3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$, что является чётным числом.
• При $n=4$, число перестановок $P_4 = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$, что является чётным числом.

Ответ: Число перестановок из $n$ элементов вычисляется как $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$. При любом целом $n > 1$ (т.е. $n \ge 2$), в произведении $n!$ обязательно присутствует множитель 2. Следовательно, результат произведения $n!$ всегда делится на 2, а значит, является чётным числом, что и требовалось доказать.