Номер 476, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 476, страница 189.

Условие.

476. Восемь сотрудников лаборатории участвовали в научном конкурсе, по результатам которого были присуждены одна первая и одна вторая премии. Сколькими способами могли быть присуждены рассматриваемые премии?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

В этой задаче требуется найти количество способов, которыми можно присудить две различные награды (первую и вторую премию) восьми участникам. Поскольку премии не равнозначны (первая премия отличается от второй), порядок выбора победителей имеет значение. Это означает, что мы имеем дело с размещениями.

Задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Использование формулы размещений

Число размещений из $n$ элементов по $k$ (где важен порядок и элементы не повторяются) вычисляется по формуле:$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$В нашем случае:

• $n = 8$ (общее число сотрудников)
• $k = 2$ (количество премий)

Подставим эти значения в формулу:$A_8^2 = \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{8!}{6!}$

Распишем факториалы и произведем сокращение:$A_8^2 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

Способ 2: Использование правила произведения (логические рассуждения)

1. Выбор обладателя первой премии. Первую премию может получить любой из 8 сотрудников. Таким образом, существует 8 вариантов.

2. Выбор обладателя второй премии. После того как первая премия присуждена одному сотруднику, на вторую премию остаются претендовать 7 человек. Следовательно, для второй премии существует 7 вариантов.

Чтобы найти общее число способов, нужно перемножить количество вариантов для каждого шага:Число способов = (варианты для первой премии) × (варианты для второй премии) = $8 \times 7 = 56$.

Оба способа дают одинаковый результат. Следовательно, существует 56 способов присудить премии.

Ответ: 56