Номер 478, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 478, страница 189.

Условие.

478. Сколькими способами можно назначить патруль из двух солдат и одного офицера, если в роте 80 солдат и 5 офицеров?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи нужно использовать комбинаторику. Процесс формирования патруля можно разделить на два независимых этапа: выбор солдат и выбор офицера. Общее количество способов будет равно произведению числа способов для каждого этапа.

Этап 1: Выбор двух солдат из 80.

Поскольку порядок выбора солдат не имеет значения (патруль из солдата A и солдата B — это то же самое, что и патруль из солдата B и солдата A), мы используем формулу для числа сочетаний без повторений: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.

В нашем случае $n = 80$ и $k = 2$.

Число способов выбрать двух солдат: $C_{80}^2 = \frac{80!}{2!(80-2)!} = \frac{80!}{2! \cdot 78!} = \frac{79 \cdot 80}{2 \cdot 1} = 79 \cdot 40 = 3160$.

Этап 2: Выбор одного офицера из 5.

Аналогично, для выбора одного офицера из пяти мы используем ту же формулу сочетаний. Здесь $n = 5$ и $k = 1$.

Число способов выбрать одного офицера: $C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = \frac{5}{1} = 5$.

Этап 3: Расчет общего числа способов.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее количество способов сформировать патруль равно произведению числа способов выбора солдат и числа способов выбора офицера.

Общее число способов = (Число способов выбрать солдат) $\times$ (Число способов выбрать офицера) = $C_{80}^2 \cdot C_5^1$.

Общее число способов = $3160 \cdot 5 = 15800$.

Ответ: 15800