Номер 479, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе V. Глава 5. Комбинаторика - номер 479, страница 189.

Условие.

479. Сколько диагоналей имеет выпуклый пятиугольник? семиугольник? $n$-угольник?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

выпуклый пятиугольник
Диагональ многоугольника — это отрезок, который соединяет две его несоседние вершины. У выпуклого пятиугольника 5 вершин. Из каждой вершины можно провести диагонали ко всем остальным вершинам, кроме самой этой вершины и двух соседних с ней. Таким образом, из одной вершины пятиугольника можно провести $5 - 3 = 2$ диагонали.
Так как у пятиугольника 5 вершин, можно было бы предположить, что общее число диагоналей равно $5 \times 2 = 10$. Однако, при таком подсчете каждая диагональ учитывается дважды (например, диагональ из вершины A в вершину C и из вершины C в вершину A — это одна и та же диагональ). Следовательно, полученное число необходимо разделить на 2.
Число диагоналей равно $\frac{5 \cdot (5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$.
Ответ: 5.

семиугольник
Применим тот же самый подход для семиугольника. У семиугольника 7 вершин. Из каждой вершины можно провести диагонали ко всем другим вершинам, кроме самой себя и двух соседних. Значит, из каждой вершины можно провести $7 - 3 = 4$ диагонали.
Поскольку вершин всего 7, умножим количество диагоналей из одной вершины на общее число вершин: $7 \times 4 = 28$.
Как и в предыдущем случае, каждая диагональ была посчитана дважды, поэтому результат нужно разделить на 2: $\frac{28}{2} = 14$.
Число диагоналей равно $\frac{7 \cdot (7-3)}{2} = \frac{7 \cdot 4}{2} = 14$.
Ответ: 14.

n-угольник
Обобщим рассуждения для произвольного выпуклого $n$-угольника. Такой многоугольник имеет $n$ вершин.
1. Из каждой отдельной вершины можно провести диагональ ко всем остальным вершинам, за исключением самой себя и двух соседних. Следовательно, из одной вершины можно провести $n - 3$ диагонали.
2. Поскольку всего в многоугольнике $n$ вершин, то общее число таких отрезков, проведенных из каждой вершины, будет равно $n \cdot (n-3)$.
3. В этом произведении каждая диагональ учтена ровно два раза (например, диагональ AB и диагональ BA). Поэтому, чтобы найти истинное число уникальных диагоналей, необходимо разделить полученный результат на 2.
Таким образом, формула для вычисления числа диагоналей $N$ выпуклого $n$-угольника имеет вид:
$N = \frac{n(n-3)}{2}$.
Ответ: $\frac{n(n-3)}{2}$.