Номер 467, страница 188 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

Глава 5. Комбинаторика. Параграф 6. Сочетания с повторениями - номер 467, страница 188.

Условие.

467. В кафе подавали мороженое четырёх видов. Сколькими способами трое друзей могут сделать заказ официанту на 3 порции мороженого?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения этой задачи воспользуемся методами комбинаторики. Нам необходимо определить общее количество способов, которыми трое друзей могут сделать заказ, выбирая из четырех видов мороженого.

Поскольку в заказе участвуют трое разных друзей, мы должны считать их различимыми. Это означает, что заказ, где первый друг выбрал ванильное мороженое, а второй — шоколадное, будет отличаться от заказа, где первый выбрал шоколадное, а второй — ванильное. Таким образом, важен не только набор видов мороженого, но и то, какой друг какой вид выбрал. Кроме того, разные друзья могут выбрать один и тот же вид мороженого, поэтому повторения разрешены.

Такая задача решается с помощью правила умножения. Рассуждаем следующим образом:
- У первого друга есть 4 варианта выбора мороженого.
- У второго друга также есть 4 варианта выбора, так как его выбор не зависит от выбора первого.
- У третьего друга тоже 4 варианта выбора.

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество вариантов для каждого друга: $$ 4 \times 4 \times 4 = 64 $$

Этот подход в комбинаторике называется размещением с повторениями. Число размещений с повторениями из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле $\bar{A}_n^k = n^k$. В нашей задаче $n = 4$ (количество видов мороженого) и $k = 3$ (количество друзей).

Подставив значения в формулу, получаем: $$ \bar{A}_4^3 = 4^3 = 64 $$

Следовательно, существует 64 различных способа для троих друзей сделать заказ.

Ответ: 64.